Номер 15, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 15, страница 40.

Условие.

5.15. При каком значении $p$ векторы $\vec{a} (p; -2; 1)$ и $\vec{b} (p; 1; -p)$ перпендикулярны?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Два вектора перпендикулярны (ортогональны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Даны векторы $\vec{a}(p; -2; 1)$ и $\vec{b}(p; 1; -p)$.

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений их соответствующих координат. Запишем условие перпендикулярности для данных векторов:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$p \cdot p + (-2) \cdot 1 + 1 \cdot (-p) = 0$

Упростим полученное выражение:

$p^2 - 2 - p = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $p$. Запишем его в стандартном виде:

$p^2 - p - 2 = 0$

Для нахождения корней этого уравнения можно использовать теорему Виета или формулу для вычисления корней через дискриминант.

1. По теореме Виета:
Сумма корней $p_1 + p_2 = 1$.
Произведение корней $p_1 \cdot p_2 = -2$.
Подбором находим корни: $p_1 = 2$ и $p_2 = -1$.

2. Через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$
$p_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$
$p_1 = \frac{1+3}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$p_2 = \frac{1-3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Таким образом, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны при значениях $p$, равных 2 и -1.
Ответ: $p = 2$ или $p = -1$.