Номер 7, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 5. Скалярное произведение векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 7, страница 39.

Условие.

5.7. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $120^\circ$, $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$. Вычислите скалярное произведение $(\vec{a}+3\vec{b})\cdot(4\vec{a}-7\vec{b})$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для вычисления скалярного произведения $(\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (4\vec{a} - 7\vec{b})$ раскроем скобки, используя дистрибутивное свойство скалярного произведения:

$(\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (4\vec{a} - 7\vec{b}) = \vec{a} \cdot (4\vec{a}) + \vec{a} \cdot (-7\vec{b}) + (3\vec{b}) \cdot (4\vec{a}) + (3\vec{b}) \cdot (-7\vec{b})$

Упростим выражение, используя свойства скалярного произведения: $(k\vec{u}) \cdot (m\vec{v}) = km(\vec{u} \cdot \vec{v})$ и $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$.

$= 4(\vec{a} \cdot \vec{a}) - 7(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 12(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 21(\vec{b} \cdot \vec{b})$

Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его модуля: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$. Учитывая коммутативность ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$), приведем подобные слагаемые:

$= 4|\vec{a}|^2 - 7(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 21|\vec{b}|^2 = 4|\vec{a}|^2 + 5(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 21|\vec{b}|^2$

Теперь вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ - угол между векторами.

По условию задачи, $|\vec{a}|=1$, $|\vec{b}|=1$, и угол между ними равен $120^\circ$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$

Мы знаем, что $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{1}{2}$

Подставим все известные значения в наше выражение:

$4|\vec{a}|^2 + 5(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 21|\vec{b}|^2 = 4(1)^2 + 5\left(-\frac{1}{2}\right) - 21(1)^2$

$= 4 - \frac{5}{2} - 21 = 4 - 2.5 - 21 = -17 - 2.5 = -19.5$

Ответ: $-19.5$