Номер 35, страница 34 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 35, страница 34.

Условие.

4.35. Дан тетраэдр $DABC$. Точки $M_1$, $M_2$ и $M_3$ являются соответственно точками пересечения медиан граней $ABD$, $BCD$ и $ADC$. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников $ABC$ и $M_1M_2M_3$, и точка $D$ лежат на одной прямой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем в пространстве произвольную систему координат и обозначим радиус-векторы вершин тетраэдра $DABC$ как $\vec{d}$, $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ соответственно.

Пусть $M$ — точка пересечения медиан (центроид) треугольника $ABC$. Ее радиус-вектор $\vec{m}$ определяется как среднее арифметическое радиус-векторов ее вершин:$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

Точки $M_1, M_2, M_3$ являются точками пересечения медиан граней $ABD$, $BCD$ и $ADC$ соответственно. Их радиус-векторы:
Для $M_1$ (центроид $ABD$): $\vec{m_1} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{d}}{3}$
Для $M_2$ (центроид $BCD$): $\vec{m_2} = \frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3}$
Для $M_3$ (центроид $ADC$): $\vec{m_3} = \frac{\vec{a} + \vec{c} + \vec{d}}{3}$

Пусть $G$ — точка пересечения медиан треугольника $M_1M_2M_3$. Ее радиус-вектор $\vec{g}$ равен:$\vec{g} = \frac{\vec{m_1} + \vec{m_2} + \vec{m_3}}{3}$Подставим в это выражение радиус-векторы точек $M_1, M_2, M_3$:$\vec{g} = \frac{1}{3} \left( \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{d}}{3} + \frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3} + \frac{\vec{a} + \vec{c} + \vec{d}}{3} \right)$$\vec{g} = \frac{1}{9} ((\vec{a}+\vec{a}) + (\vec{b}+\vec{b}) + (\vec{c}+\vec{c}) + (\vec{d}+\vec{d}+\vec{d}))$$\vec{g} = \frac{1}{9} (2\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c} + 3\vec{d}) = \frac{2(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + 3\vec{d}}{9}$

Чтобы доказать, что точка $D$, точка пересечения медиан треугольника $ABC$ (точка $M$) и точка пересечения медиан треугольника $M_1M_2M_3$ (точка $G$) лежат на одной прямой, нужно показать, что векторы $\vec{DM}$ и $\vec{DG}$ коллинеарны. Найдем эти векторы.
Вектор $\vec{DM}$ равен разности радиус-векторов его конца и начала:$\vec{DM} = \vec{m} - \vec{d} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} - \vec{d} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} - 3\vec{d}}{3}$
Аналогично для вектора $\vec{DG}$:$\vec{DG} = \vec{g} - \vec{d} = \frac{2(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + 3\vec{d}}{9} - \vec{d} = \frac{2(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + 3\vec{d} - 9\vec{d}}{9}$$\vec{DG} = \frac{2(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 6\vec{d}}{9} = \frac{2}{3} \cdot \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} - 3\vec{d}}{3}$

Сравнивая выражения для векторов, мы видим, что:$\vec{DG} = \frac{2}{3} \vec{DM}$Поскольку вектор $\vec{DG}$ является произведением вектора $\vec{DM}$ на скаляр $\frac{2}{3}$, эти векторы коллинеарны. Так как они исходят из одной точки $D$, то точки $D$, $G$ и $M$ лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.