Номер 31, страница 34 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 31, страница 34.

Условие.

4.31. Точка M – середина ребра BC тетраэдра DABC, точка K – середина отрезка DM. Выразите вектор $ \vec{AK} $ через векторы $ \vec{AB} $, $ \vec{AC} $ и $ \vec{AD} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи воспользуемся правилом нахождения радиус-вектора середины отрезка. Радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиус-векторов его концов. В качестве начала отсчета выберем точку $A$.

1. Точка $K$ является серединой отрезка $DM$. Следовательно, вектор $\overrightarrow{AK}$ можно выразить через векторы $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{AM}$ следующим образом:

$\overrightarrow{AK} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AM})$

2. Точка $M$ является серединой ребра $BC$. Аналогично, вектор $\overrightarrow{AM}$ можно выразить через векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$:

$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$

3. Теперь подставим выражение для вектора $\overrightarrow{AM}$ из второго шага в формулу из первого шага:

$\overrightarrow{AK} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})\right)$

4. Раскроем скобки и упростим полученное выражение, чтобы выразить $\overrightarrow{AK}$ через искомые векторы $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AD}$:

$\overrightarrow{AK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$

$\overrightarrow{AK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$

Переставим слагаемые для удобства:

$\overrightarrow{AK} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$

Ответ: $\overrightarrow{AK} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$