Номер 27, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 27, страница 33.

Условие.

4.27. Через середину высоты пирамиды проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Найдите площадь меньшего основания образовавшейся при этом усечённой пирамиды, если площадь основания данной пирамиды равна 48 $см^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $S$ — площадь основания исходной пирамиды, а $H$ — ее высота. По условию задачи дано, что $S = 48 \text{ см}^2$.

Через середину высоты пирамиды проведена плоскость, параллельная основанию. Эта плоскость отсекает от исходной пирамиды новую, меньшую пирамиду, которая подобна исходной. Меньшее основание образовавшейся усеченной пирамиды является основанием этой новой, меньшей пирамиды.

Высота меньшей пирамиды, обозначим ее $H'$, составляет половину высоты исходной пирамиды $H$, так как секущая плоскость проходит через середину высоты: $H' = \frac{H}{2}$.

Отношение линейных размеров подобных тел (в данном случае высот пирамид) называется коэффициентом подобия $k$. $k = \frac{H'}{H} = \frac{\frac{1}{2}H}{H} = \frac{1}{2}$.

Согласно свойству подобных фигур, отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия. Следовательно, отношение площади основания меньшей пирамиды $S'$ к площади основания исходной пирамиды $S$ равно $k^2$: $\frac{S'}{S} = k^2$.

Подставим известные значения в это соотношение: $\frac{S'}{48} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.

Теперь найдем искомую площадь меньшего основания $S'$: $S' = 48 \cdot \frac{1}{4} = 12 \text{ см}^2$.

Ответ: 12 см².