Номер 25, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 25, страница 33.

Условие.

4.25. Плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ параллельны. Точка $ O $ не принадлежит этим плоскостям (рис. 4.13). Каждой точке $ X $ фигуры $ F $, принадлежащей плоскости $ \alpha $, ставится в соответствие точка $ X_1 $, такая, что $ X_1 = OX \cap \beta $. Докажите, что при таком преобразовании образом фигуры $ F $ является фигура $ F_1 $, гомотетичная фигуре $ F $ с центром $ O $ и коэффициентом, равным $ \frac{h}{h_1} $, где $ h $ и $ h_1 $ – соответственно расстояния от точки $ O $ до плоскостей $ \alpha $ и $ \beta $.

Рис. 4.13

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

По определению, каждой точке $X$ фигуры $F$, принадлежащей плоскости $\alpha$, ставится в соответствие точка $X_1$ такая, что $X_1$ является точкой пересечения прямой $OX$ и плоскости $\beta$. Из этого определения следует, что точки $O$, $X$ и $X_1$ всегда лежат на одной прямой. Это является необходимым условием для гомотетии (преобразования подобия) с центром в точке $O$.

Чтобы доказать, что данное преобразование является гомотетией, необходимо показать, что отношение расстояний $OX_1$ к $OX$ является постоянной величиной для всех точек $X$ фигуры $F$.

Пусть $H$ и $H_1$ — основания перпендикуляров, опущенных из точки $O$ на плоскости $\alpha$ и $\beta$ соответственно. По условию, расстояние от точки $O$ до плоскости $\alpha$ равно $h$, то есть $OH = h$. Расстояние от точки $O$ до плоскости $\beta$ равно $h_1$, то есть $OH_1 = h_1$. Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, прямая, содержащая перпендикуляры $OH$ и $OH_1$, одна и та же. Следовательно, точки $O$, $H$ и $H_1$ лежат на одной прямой.

Рассмотрим плоскость, проходящую через точки $O$ и $X$ и содержащую перпендикуляр $OH$. Точка $X_1$ также лежит в этой плоскости, так как она принадлежит прямой $OX$. Эта плоскость пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $XH$, а плоскость $\beta$ по прямой $X_1H_1$. Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, то линии их пересечения с третьей плоскостью также параллельны, то есть $XH \parallel X_1H_1$.

Рассмотрим треугольники $\triangle OHX$ и $\triangle OH_1X_1$. Они подобны. Это можно доказать по двум углам:

1. $\angle HOX$ — общий угол.
2. $\angle OXH$ и $\angle OX_1H_1$ — соответственные углы при параллельных прямых $XH$ и $X_1H_1$ и секущей $OX_1$.

Из подобия треугольников $\triangle OHX \sim \triangle OH_1X_1$ следует пропорциональность их соответствующих сторон:$$ \frac{OX_1}{OX} = \frac{OH_1}{OH} = \frac{X_1H_1}{XH} $$

Подставим известные значения длин перпендикуляров $OH=h$ и $OH_1=h_1$:$$ \frac{OX_1}{OX} = \frac{h_1}{h} $$

Это отношение не зависит от выбора точки $X$ на фигуре $F$, так как $h$ и $h_1$ — постоянные величины (заданные расстояния). Обозначим это постоянное отношение как $k = \frac{h_1}{h}$.

Таким образом, для любой точки $X \in F$ ее образ $X_1$ удовлетворяет векторному соотношению $\vec{OX_1} = k \cdot \vec{OX}$, где $k = \frac{h_1}{h}$. Это по определению является гомотетией с центром в точке $O$ и коэффициентом $k$.

Следовательно, фигура $F_1$ гомотетична фигуре $F$ с центром $O$ и коэффициентом $k = \frac{h_1}{h}$.

Примечание: В условии задачи указан коэффициент, равный $\frac{h}{h_1}$. Однако, согласно строгому выводу, коэффициент гомотетии, отображающей фигуру из плоскости $\alpha$ в плоскость $\beta$, равен отношению расстояния от центра до плоскости-образа ($h_1$) к расстоянию от центра до плоскости-прообраза ($h$). Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Доказательство проведено для коэффициента, следующего из геометрических построений.

Ответ: Данное преобразование является гомотетией с центром в точке $O$. Коэффициент гомотетии $k$ равен отношению расстояния от центра $O$ до плоскости $\beta$ к расстоянию от центра $O$ до плоскости $\alpha$, то есть $k = \frac{h_1}{h}$. Таким образом, фигура $F_1$ гомотетична фигуре $F$ с центром $O$ и коэффициентом $k = \frac{h_1}{h}$.