Номер 28, страница 33 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 28, страница 33.

Условие.

4.28. Высота пирамиды равна 25 см. Через точку $M$, принадлежащую высоте пирамиды, проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Площади оснований образовавшейся при этом усечённой пирамиды равны $12 \text{ см}^2$ и $75 \text{ см}^2$. Найдите расстояние от точки $M$ до вершины данной пирамиды.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $H$ — высота исходной пирамиды, $S_{1}$ — площадь ее основания.Пусть $h$ — высота малой пирамиды, которая отсекается плоскостью, проведенной через точку $M$. Эта высота $h$ и есть искомое расстояние от точки $M$ до вершины пирамиды. Пусть $S_{2}$ — площадь основания малой пирамиды (площадь сечения).

Из условия задачи имеем:
Высота исходной пирамиды $H = 25$ см.
Площади оснований усеченной пирамиды равны 12 см² и 75 см². Это означает, что площадь основания исходной пирамиды $S_{1} = 75$ см², а площадь сечения (основания малой пирамиды) $S_{2} = 12$ см².

Малая пирамида, отсеченная плоскостью, подобна исходной пирамиде. Для подобных тел отношение площадей соответствующих поверхностей равно квадрату коэффициента подобия, а отношение соответствующих линейных размеров (например, высот) равно коэффициенту подобия.

Отношение площадей оснований равно квадрату отношения их высот:

$\frac{S_{2}}{S_{1}} = (\frac{h}{H})^2$

Подставим известные значения в формулу:

$\frac{12}{75} = (\frac{h}{25})^2$

Сократим дробь в левой части уравнения на 3:

$\frac{12 \div 3}{75 \div 3} = \frac{4}{25}$

Теперь уравнение выглядит так:

$\frac{4}{25} = (\frac{h}{25})^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (поскольку высота не может быть отрицательной, рассматриваем только положительный корень):

$\sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{h}{25}$

$\frac{2}{5} = \frac{h}{25}$

Выразим $h$:

$h = \frac{2}{5} \cdot 25 = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Таким образом, расстояние от точки $M$ до вершины данной пирамиды равно 10 см.

Ответ: 10 см.