Номер 7, страница 32 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 7, страница 32.

Условие.

4.7. Найдите модуль вектора $ \vec{p} = 8\vec{a} - 9\vec{b} $, если $ \vec{a} (0,5; -0,5; 1,5) $, $ \vec{b} \left(\frac{1}{3}; -\frac{2}{3}; \frac{1}{9}\right) $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы найти модуль вектора $\vec{p} = 8\vec{a} - 9\vec{b}$, необходимо сначала найти координаты самого вектора $\vec{p}$. Для этого выполним следующие действия:

1. Найдем координаты вектора $8\vec{a}$, умножив каждую координату вектора $\vec{a}(0,5; -0,5; 1,5)$ на 8:

$8\vec{a} = (8 \cdot 0,5; 8 \cdot (-0,5); 8 \cdot 1,5) = (4; -4; 12)$

2. Найдем координаты вектора $9\vec{b}$, умножив каждую координату вектора $\vec{b}(\frac{1}{3}; -\frac{2}{3}; \frac{1}{9})$ на 9:

$9\vec{b} = (9 \cdot \frac{1}{3}; 9 \cdot (-\frac{2}{3}); 9 \cdot \frac{1}{9}) = (\frac{9}{3}; -\frac{18}{3}; \frac{9}{9}) = (3; -6; 1)$

3. Вычислим координаты вектора $\vec{p}$ как разность координат векторов $8\vec{a}$ и $9\vec{b}$:

$\vec{p} = 8\vec{a} - 9\vec{b} = (4 - 3; -4 - (-6); 12 - 1) = (1; 2; 11)$

4. Теперь найдем модуль (длину) вектора $\vec{p}$ по формуле $|\vec{p}| = \sqrt{p_x^2 + p_y^2 + p_z^2}$, где $p_x, p_y, p_z$ — координаты вектора $\vec{p}$.

Подставим координаты вектора $\vec{p}(1; 2; 11)$:

$|\vec{p}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 11^2} = \sqrt{1 + 4 + 121} = \sqrt{126}$

Упростим полученное значение, разложив подкоренное выражение на множители:

$\sqrt{126} = \sqrt{9 \cdot 14} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{14} = 3\sqrt{14}$

Ответ: $3\sqrt{14}$.