Номер 10, страница 31 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 10, страница 31.

Условие.

10. Какая фигура является сечением пирамиды плоскостью, параллельной основанию пирамиды?

Решение 1.

Решение 3.

При пересечении пирамиды плоскостью, параллельной её основанию, в сечении образуется многоугольник. Чтобы определить свойства этого многоугольника, рассмотрим его связь с основанием пирамиды.

Пусть $S$ — вершина пирамиды, а $A_1A_2...A_n$ — многоугольник в её основании. Секущая плоскость $\beta$, параллельная плоскости основания $\alpha$, пересекает боковые рёбра $SA_1, SA_2, ..., SA_n$ в точках $B_1, B_2, ..., B_n$ соответственно. Сечением является многоугольник $B_1B_2...B_n$.

Рассмотрим боковую грань $SA_1A_2$. Эта грань является плоскостью, которая пересекает две параллельные плоскости ($\alpha$ и $\beta$). По свойству параллельных плоскостей, линии их пересечения с третьей плоскостью параллельны. Следовательно, отрезок $B_1B_2$ (линия пересечения грани $SA_1A_2$ с плоскостью $\beta$) параллелен отрезку $A_1A_2$ (линия пересечения грани $SA_1A_2$ с плоскостью $\alpha$). То есть, $B_1B_2 \parallel A_1A_2$.

Аналогично можно доказать, что и все остальные стороны многоугольника-сечения параллельны соответствующим сторонам многоугольника-основания: $B_2B_3 \parallel A_2A_3$, и так далее до $B_nA_1 \parallel A_nA_1$.

Поскольку стороны многоугольников попарно параллельны, их соответствующие углы равны: $\angle B_1B_2B_3 = \angle A_1A_2A_3$ и т.д.

Рассмотрим треугольник $\triangle SA_1A_2$. Так как $B_1B_2 \parallel A_1A_2$, то треугольник $\triangle SB_1B_2$ подобен треугольнику $\triangle SA_1A_2$. Из подобия следует пропорциональность сторон: $ \frac{SB_1}{SA_1} = \frac{SB_2}{SA_2} = \frac{B_1B_2}{A_1A_2} = k $ где $k$ — коэффициент подобия. Этот коэффициент зависит от расстояния секущей плоскости до вершины и одинаков для всех боковых граней.

Таким образом, все стороны многоугольника-сечения пропорциональны соответствующим сторонам основания с одним и тем же коэффициентом $k$.

Поскольку у многоугольников $B_1B_2...B_n$ и $A_1A_2...A_n$ соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны, эти многоугольники подобны.

Ответ: Сечением пирамиды плоскостью, параллельной основанию, является многоугольник, подобный основанию пирамиды.