Номер 6, страница 31 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 6, страница 31.

Условие.

6. Запишите сочетательное и распределительные свойства умножения вектора на число.

Решение 1.

Решение 3.

Сочетательное свойство умножения вектора на число

Для любого вектора $\vec{a}$ и любых чисел (скаляров) $k$ и $l$ справедливо следующее равенство, которое также называют законом ассоциативности:

$(kl)\vec{a} = k(l\vec{a})$

Это свойство означает, что результат умножения вектора на произведение двух чисел не зависит от способа группировки сомножителей. Можно сначала перемножить числа, а затем умножить их произведение на вектор, или же можно последовательно умножить вектор сначала на одно число, а затем полученный результат — на другое.

Ответ: $(kl)\vec{a} = k(l\vec{a})$

Распределительные свойства умножения вектора на число

Существует два распределительных свойства (или закона дистрибутивности), которые связывают операции умножения вектора на число и сложения (векторов или чисел).

1. Распределительное свойство относительно сложения векторов: для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и любого числа $k$ справедливо равенство:

$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$

Это означает, что чтобы умножить число на сумму векторов, можно умножить это число на каждый из векторов-слагаемых и сложить полученные произведения (векторы).

2. Распределительное свойство относительно сложения чисел: для любого вектора $\vec{a}$ и любых чисел $k$ и $l$ справедливо равенство:

$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$

Это означает, что чтобы умножить сумму чисел на вектор, можно умножить каждое число-слагаемое на этот вектор и сложить полученные произведения (векторы).

Ответ: $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$; $(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$