Номер 3, страница 31 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 3, страница 31.

Условие.

3. Известно, что векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ коллинеарны, причём $ a \neq 0 $. Как можно выразить вектор $ \vec{b} $ через вектор $ \vec{a} $?

Решение 1.

Решение 3.

По определению, два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Это означает, что один вектор может быть получен из другого путем умножения на некоторое действительное число (скаляр).

Формально, условие коллинеарности для векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, при условии, что $\vec{a}$ — ненулевой вектор ($\vec{a} \neq \vec{0}$), заключается в том, что существует такое единственное действительное число $k$, для которого выполняется равенство:

$\vec{b} = k \cdot \vec{a}$

Здесь $k$ — это скалярный коэффициент, который характеризует соотношение длин и направлений векторов:

• Если $k > 0$, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены, то есть имеют одинаковое направление. Длина вектора $\vec{b}$ в $k$ раз больше длины вектора $\vec{a}$.
• Если $k < 0$, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены. Длина вектора $\vec{b}$ в $|k|$ раз больше длины вектора $\vec{a}$.
• Если $k = 0$, то вектор $\vec{b}$ является нулевым вектором ($\vec{b} = \vec{0}$).

Условие, что вектор $\vec{a}$ не является нулевым, очень важно, так как оно гарантирует, что для любого коллинеарного ему вектора $\vec{b}$ всегда можно найти такой коэффициент $k$.

Ответ: Вектор $\vec{b}$ можно выразить через вектор $\vec{a}$ по формуле $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$, где $k$ – некоторое действительное число.