Номер 35, страница 25 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 35, страница 25.

Условие.

3.35. Хорды $AB$ и $AC$ окружности перпендикулярны, $AB = 12$ см, $AC = 16$ см.

Найдите расстояние от точки $A$ до прямой $BC$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Поскольку хорды $AB$ и $AC$ окружности перпендикулярны, то угол $\angle BAC$ между ними является прямым, то есть $\angle BAC = 90^\circ$. Следовательно, точки $A$, $B$ и $C$ образуют прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $AB$ и $AC$ являются катетами, а $BC$ — гипотенузой.

Расстояние от точки $A$ до прямой $BC$ — это длина высоты $AH$, проведенной из вершины прямого угла $A$ на гипотенузу $BC$.

Для нахождения высоты сначала вычислим длину гипотенузы $BC$ по теореме Пифагора:
$BC^2 = AB^2 + AC^2$
$BC^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$
$BC = \sqrt{400} = 20$ см.

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами:
1. Как половину произведения катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC$.
2. Как половину произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней: $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$.

Приравняв оба выражения для площади, мы можем найти высоту $AH$:
$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$
$AB \cdot AC = BC \cdot AH$
$AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}$

Подставим известные значения в формулу:
$AH = \frac{12 \cdot 16}{20} = \frac{192}{20} = 9.6$ см.

Таким образом, расстояние от точки $A$ до прямой $BC$ равно 9,6 см.

Ответ: 9,6 см.