Номер 5, страница 31 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 5, страница 31.

Условие.

5. Что можно сказать о векторах, координаты которых равны $(a_1; a_2; a_3)$ и $(ka_1; ka_2; ka_3)$?

Решение 1.

Решение 3.

Пусть даны два вектора: $\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)$ и $\vec{b} = (ka_1; ka_2; ka_3)$.

Координаты второго вектора $\vec{b}$ получаются умножением каждой координаты первого вектора $\vec{a}$ на одно и то же число $k$. Это соответствует операции умножения вектора на скаляр: $$ \vec{b} = k \cdot \vec{a} $$

Основное, что можно сказать о таких векторах, — это то, что они коллинеарны. Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Взаимосвязь между этими векторами полностью определяется значением коэффициента $k$:

• Направление векторов:
  • Если $k > 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены (направлены в одну сторону).
  • Если $k < 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены.
  • Если $k = 0$, то второй вектор является нулевым вектором: $\vec{b} = (0; 0; 0)$.
• Длины (модули) векторов:

  Длина вектора $\vec{b}$ связана с длиной вектора $\vec{a}$ следующим соотношением:

  $$ |\vec{b}| = \sqrt{(ka_1)^2 + (ka_2)^2 + (ka_3)^2} = \sqrt{k^2(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)} = |k| \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} = |k| \cdot |\vec{a}| $$

  Это означает, что длина вектора $\vec{b}$ в $|k|$ раз отличается от длины вектора $\vec{a}$.

  • Если $|k| > 1$, вектор $\vec{b}$ длиннее вектора $\vec{a}$.
  • Если $|k| < 1$ (и $k \neq 0$), вектор $\vec{b}$ короче вектора $\vec{a}$.
  • Если $|k| = 1$ (т.е. $k=1$ или $k=-1$), векторы имеют одинаковую длину.

Таким образом, второй вектор является результатом масштабирования первого вектора с коэффициентом $k$. Если $k$ отрицательно, то направление вектора меняется на противоположное.

Ответ: Данные векторы коллинеарны. Второй вектор получен из первого умножением на скаляр $k$. Если $k>0$, они сонаправлены; если $k<0$, они противоположно направлены. Длина второго вектора в $|k|$ раз отличается от длины первого.