Номер 1, страница 31 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 4. Умножение вектора на число. Гомотетия. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 1, страница 31.

Условие.

1. Что называют произведением ненулевого вектора $\vec{a}$ и числа $k$, отличного от нуля?

Решение 1.

Решение 3.

Произведением ненулевого вектора $\vec{a}$ и числа $k$, отличного от нуля, называют новый вектор (обозначается $k\vec{a}$), который характеризуется своей длиной (модулем) и направлением.

• Длина (модуль) нового вектора равна произведению длины исходного вектора на модуль (абсолютную величину) числа $k$. Это выражается формулой: $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.
• Направление нового вектора зависит от знака числа $k$:
  • если $k > 0$, то вектор $k\vec{a}$ сонаправлен с вектором $\vec{a}$ (имеет то же направление);
  • если $k < 0$, то вектор $k\vec{a}$ направлен противоположно вектору $\vec{a}$.

Геометрически, умножение вектора на число $k$ приводит к его растяжению в $|k|$ раз, если $|k| > 1$, или сжатию в $\frac{1}{|k|}$ раз, если $|k| < 1$. Если $k$ — отрицательное число, направление вектора изменяется на противоположное. В любом случае, полученный вектор $k\vec{a}$ будет коллинеарен исходному вектору $\vec{a}$ (т.е. они будут лежать на одной прямой или на параллельных прямых).

Ответ: Произведением ненулевого вектора $\vec{a}$ и числа $k \ne 0$ является вектор $k\vec{a}$, длина которого равна $|k| \cdot |\vec{a}|$, а направление совпадает с направлением $\vec{a}$ при $k > 0$ и противоположно направлению $\vec{a}$ при $k < 0$.