Номер 34, страница 25 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 34, страница 25.

Условие.

3.34. Одно из оснований прямоугольной трапеции на 7 см меньше другого, а большая боковая сторона равна 25 см. Найдите площадь трапеции, если её меньшая диагональ делит прямой угол трапеции пополам.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, где углы $A$ и $D$ прямые ($\angle A = \angle D = 90^\circ$). $AD$ — меньшая боковая сторона (высота), $BC$ — большая боковая сторона, $AB$ и $DC$ — основания.

Согласно условию, одно из оснований на 7 см меньше другого. Пусть $AB$ — меньшее основание, а $DC$ — большее. Тогда $DC = AB + 7$. Большая боковая сторона $BC = 25$ см.

Сначала определим, какая из диагоналей ($AC$ или $BD$) является меньшей. Рассматривая прямоугольные треугольники $ABD$ и $ADC$, мы можем записать по теореме Пифагора:
$BD^2 = AB^2 + AD^2$
$AC^2 = DC^2 + AD^2$
Поскольку $DC > AB$, следует, что $DC^2 > AB^2$, и, таким образом, $AC^2 > BD^2$. Это означает, что $BD$ является меньшей диагональю.

По условию, меньшая диагональ $BD$ делит прямой угол трапеции пополам. Прямые углы трапеции — это $\angle A$ и $\angle D$. Так как диагональ $BD$ соединяет вершины $B$ и $D$, она может делить только угол $D$ ($\angle ADC$). Следовательно, диагональ $BD$ является биссектрисой угла $D$, и $\angle BDC = \angle ADB = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Он является прямоугольным, так как $\angle A = 90^\circ$. Основания трапеции параллельны ($AB \parallel DC$), поэтому углы $\angle ABD$ и $\angle BDC$ являются внутренними накрест лежащими при секущей $BD$. Отсюда следует, что $\angle ABD = \angle BDC = 45^\circ$. Таким образом, в треугольнике $ABD$ есть два равных угла: $\angle ADB = 45^\circ$ и $\angle ABD = 45^\circ$. Это значит, что треугольник $ABD$ — равнобедренный, и его катеты равны: $AB = AD$.

Пусть высота трапеции $AD = h$. Тогда из равенства $AB = AD$ следует, что меньшее основание $AB = h$. Большее основание, согласно условию, $DC = AB + 7 = h + 7$.

Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на основание $DC$. Фигура $ABHD$ представляет собой прямоугольник, из чего следует, что $BH = AD = h$ и $DH = AB = h$. Длина отрезка $HC$ на большем основании будет равна разности длин оснований: $HC = DC - DH = (h + 7) - h = 7$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$ ($\angle BHC = 90^\circ$). Применим к нему теорему Пифагора:
$BH^2 + HC^2 = BC^2$
Подставляем известные значения:
$h^2 + 7^2 = 25^2$
$h^2 + 49 = 625$
$h^2 = 625 - 49$
$h^2 = 576$
$h = \sqrt{576} = 24$ см.

Теперь мы можем определить размеры всех сторон, необходимых для вычисления площади:
Высота $AD = h = 24$ см.
Меньшее основание $AB = h = 24$ см.
Большее основание $DC = h + 7 = 24 + 7 = 31$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:
$S = \frac{AB + DC}{2} \cdot AD$
$S = \frac{24 + 31}{2} \cdot 24 = \frac{55}{2} \cdot 24 = 55 \cdot 12 = 660$ $см^2$.

Ответ: 660 $см^2$.