Номер 27, страница 25 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 27, страница 25.

Условие.

3.27. Найдите координаты точки $M$ такой, что $\vec{CM} - \vec{MD} = \vec{0}$, если $C (1; -5; 3)$, $D (-2; 0; 6)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть искомая точка $M$ имеет координаты $(x; y; z)$. Координаты заданных точек: $C(1; -5; 3)$ и $D(-2; 0; 6)$.

Условие $\vec{CM} - \vec{MD} = \vec{0}$ равносильно равенству векторов $\vec{CM} = \vec{MD}$.

Найдем координаты векторов $\vec{CM}$ и $\vec{MD}$. Координаты вектора определяются как разность соответствующих координат его конца и начала.

Координаты вектора $\vec{CM}$:
$\vec{CM} = \{x - x_C; y - y_C; z - z_C\} = \{x - 1; y - (-5); z - 3\} = \{x - 1; y + 5; z - 3\}$.

Координаты вектора $\vec{MD}$:
$\vec{MD} = \{x_D - x; y_D - y; z_D - z\} = \{-2 - x; 0 - y; 6 - z\}$.

Поскольку векторы $\vec{CM}$ и $\vec{MD}$ равны, их соответствующие координаты также должны быть равны. Это позволяет нам составить систему из трех уравнений:

1) $x - 1 = -2 - x$
$2x = -1$
$x = -\frac{1}{2} = -0.5$

2) $y + 5 = -y$
$2y = -5$
$y = -\frac{5}{2} = -2.5$

3) $z - 3 = 6 - z$
$2z = 9$
$z = \frac{9}{2} = 4.5$

Таким образом, координаты точки $M$ равны $(-0.5; -2.5; 4.5)$. Заметим, что точка $M$ является серединой отрезка $CD$.

Ответ: $M(-0.5; -2.5; 4.5)$.