Номер 20, страница 24 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 20, страница 24.

Условие.

3.20. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите вектор, равный $\vec{AA_1} + \vec{BC} - \vec{C_1D_1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения вектора, равного выражению $ \vec{AA_1} + \vec{B_1C} - \vec{C_1D_1} $, мы воспользуемся свойствами векторов в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и правилами сложения и вычитания векторов.

Сначала преобразуем вычитание вектора $ \vec{C_1D_1} $ в сложение. Вычитание вектора равносильно прибавлению противоположного ему вектора: $$ -\vec{C_1D_1} = \vec{D_1C_1} $$ В кубе ребро $ D_1C_1 $ параллельно и сонаправлено ребру $ AB $. Следовательно, векторы, лежащие на этих ребрах, равны: $$ \vec{D_1C_1} = \vec{AB} $$

Теперь рассмотрим вектор $ \vec{B_1C} $. Он является диагональю грани $ BCC_1B_1 $. Поскольку в кубе противоположные грани параллельны и равны, мы можем заменить этот вектор равным ему вектором $ \vec{A_1D} $, который является диагональю противоположной грани $ ADD_1A_1 $. Равенство $ \vec{B_1C} = \vec{A_1D} $ следует из того, что четырехугольник $ A_1B_1CD $ является параллелограммом (так как $ \vec{A_1B_1} = \vec{DC} $).

Подставим найденные равные векторы в исходное выражение: $$ \vec{AA_1} + \vec{B_1C} - \vec{C_1D_1} = \vec{AA_1} + \vec{A_1D} + \vec{AB} $$

Теперь выполним сложение векторов, используя правило многоугольника (последовательного сложения). Сумма векторов $ \vec{AA_1} $ и $ \vec{A_1D} $ — это вектор, соединяющий начало первого вектора (точку $ A $) с концом второго (точкой $ D $): $$ \vec{AA_1} + \vec{A_1D} = \vec{AD} $$

Заменим сумму в нашем выражении: $$ (\vec{AA_1} + \vec{A_1D}) + \vec{AB} = \vec{AD} + \vec{AB} $$

Наконец, сложим векторы $ \vec{AB} $ и $ \vec{AD} $. Эти векторы исходят из одной вершины $ A $ и лежат на смежных сторонах квадрата $ ABCD $. По правилу параллелограмма, их сумма равна вектору диагонали параллелограмма (в данном случае квадрата), исходящей из той же вершины: $$ \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC} $$

Таким образом, искомый вектор равен $ \vec{AC} $.

Ответ: $ \vec{AC} $.