Номер 15, страница 24 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 15, страница 24.

Условие.

3.15. Упростите выражение:

1) $\vec{AB} + \vec{DE} + \vec{CF} + \vec{EA} + \vec{FD} + \vec{FC} + \vec{BM};$

2) $\vec{BC} + \vec{AF} + \vec{DE} - \vec{DF} - \vec{AC}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся правилом сложения векторов (правило многоугольника или правило Шаля) и свойством противоположных векторов.

Исходное выражение: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{FD} + \overrightarrow{FC} + \overrightarrow{BM}$.

Сгруппируем слагаемые, чтобы было удобно применить правило сложения векторов $\overrightarrow{XY} + \overrightarrow{YZ} = \overrightarrow{XZ}$ и учесть, что сумма противоположных векторов равна нулевому вектору: $\overrightarrow{XY} + \overrightarrow{YX} = \overrightarrow{0}$.

Переставим слагаемые местами для наглядности:

$(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}) + (\overrightarrow{FD} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EA}) + (\overrightarrow{CF} + \overrightarrow{FC})$

Теперь упростим каждую группу:

1. По правилу сложения векторов: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AM}$.

2. Также по правилу сложения векторов, применяя его последовательно: $(\overrightarrow{FD} + \overrightarrow{DE}) + \overrightarrow{EA} = \overrightarrow{FE} + \overrightarrow{EA} = \overrightarrow{FA}$.

3. Сумма противоположных векторов: $\overrightarrow{CF} + \overrightarrow{FC} = \overrightarrow{0}$.

Подставим полученные результаты обратно в выражение:

$\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{FA} + \overrightarrow{0}$

Переставим слагаемые и снова применяем правило сложения:

$\overrightarrow{FA} + \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{FM}$.

Ответ: $\overrightarrow{FM}$.

2) Упростим второе выражение, используя правило вычитания векторов ($\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{b})$) и правило сложения.

Исходное выражение: $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{DE} - \overrightarrow{DF} - \overrightarrow{AC}$.

Заменим вычитание на сложение с противоположным вектором. Вспомним, что $-\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{QP}$.

Таким образом, $-\overrightarrow{DF} = \overrightarrow{FD}$ и $-\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CA}$.

Получим следующее выражение:

$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AF} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{FD} + \overrightarrow{CA}$

Сгруппируем слагаемые для последовательного применения правила сложения векторов:

$(\overrightarrow{AF} + \overrightarrow{FD}) + \overrightarrow{DE} + (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA})$

Упростим выражения в скобках:

1. $\overrightarrow{AF} + \overrightarrow{FD} = \overrightarrow{AD}$.

2. $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{BA}$.

Подставим упрощенные векторы обратно в выражение:

$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{BA}$

Снова применяем правило сложения к первым двум слагаемым:

$(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE}) + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{BA}$

Переставим слагаемые для удобства и применим правило сложения в последний раз:

$\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{BE}$.

Ответ: $\overrightarrow{BE}$.