Номер 16, страница 24 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 16, страница 24.

Условие.

3.16. Докажите, что векторы $\vec{AB} - \vec{AC} + \vec{BD}$ и $\vec{DA} - \vec{CM} + \vec{AM}$ противоположны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Два вектора называются противоположными, если их сумма равна нулевому вектору. Чтобы доказать утверждение задачи, мы упростим каждое из векторных выражений и проверим, равна ли их сумма нулю.

Обозначим первый вектор как $\vec{v_1} = \vec{AB} - \vec{AC} + \vec{BD}$.

Упростим его, используя правила действий над векторами. Согласно правилу вычитания векторов, имеющих общее начало: $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$.

Подставим это в выражение для $\vec{v_1}$:

$\vec{v_1} = \vec{CB} + \vec{BD}$

Теперь, по правилу сложения векторов (правило треугольника), получаем:

$\vec{v_1} = \vec{CD}$

Обозначим второй вектор как $\vec{v_2} = \vec{DA} - \vec{CM} + \vec{AM}$.

Упростим его, перегруппировав слагаемые:

$\vec{v_2} = \vec{DA} + \vec{AM} - \vec{CM}$

По правилу сложения векторов: $\vec{DA} + \vec{AM} = \vec{DM}$.

Тогда выражение для $\vec{v_2}$ принимает вид:

$\vec{v_2} = \vec{DM} - \vec{CM}$

Вычитание вектора $\vec{CM}$ эквивалентно прибавлению противоположного ему вектора $\vec{MC}$, так как $-\vec{CM} = \vec{MC}$.

$\vec{v_2} = \vec{DM} + \vec{MC}$

Снова применяем правило сложения векторов:

$\vec{v_2} = \vec{DC}$

Теперь найдем сумму упрощенных векторов $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$:

$\vec{v_1} + \vec{v_2} = \vec{CD} + \vec{DC}$

Векторы $\vec{CD}$ и $\vec{DC}$ являются противоположными, поэтому их сумма равна нулевому вектору:

$\vec{CD} + \vec{DC} = \vec{0}$

Так как сумма исходных векторов равна нулевому вектору, они являются противоположными.

Ответ: Что и требовалось доказать.