Номер 14, страница 24 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 14, страница 24.

Условие.

3.14. Упростите выражение:

1) $\vec{AB} + \vec{CD} + \vec{BM} + \vec{MA} + \vec{NK} + \vec{DC};$

2) $\vec{AB} - \vec{CD} - \vec{AE} + \vec{CF} - \vec{EF}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для упрощения выражения $\vec{AB} + \vec{CD} + \vec{BM} + \vec{MA} + \vec{NK} + \vec{DC}$ воспользуемся свойствами сложения векторов. Сгруппируем слагаемые, используя коммутативное и ассоциативное свойства:

$(\vec{MA} + \vec{AB} + \vec{BM}) + (\vec{CD} + \vec{DC}) + \vec{NK}$

Рассмотрим первую группу слагаемых $(\vec{MA} + \vec{AB} + \vec{BM})$. По правилу треугольника (правилу Шаля) для сложения векторов $\vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ}$:

$\vec{MA} + \vec{AB} = \vec{MB}$

Тогда первая группа становится равна $\vec{MB} + \vec{BM}$. Векторы $\vec{MB}$ и $\vec{BM}$ являются противоположными, поэтому их сумма равна нулевому вектору:

$\vec{MB} + \vec{BM} = \vec{MM} = \vec{0}$

Рассмотрим вторую группу слагаемых $(\vec{CD} + \vec{DC})$. Векторы $\vec{CD}$ и $\vec{DC}$ также противоположны, и их сумма равна нулевому вектору:

$\vec{CD} + \vec{DC} = \vec{CC} = \vec{0}$

Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение:

$\vec{0} + \vec{0} + \vec{NK} = \vec{NK}$

Ответ: $\vec{NK}$

2) Для упрощения выражения $\vec{AB} - \vec{CD} - \vec{AE} + \vec{CF} - \vec{EF}$ сначала заменим вычитание векторов сложением с противоположными векторами, используя правило $-\vec{XY} = \vec{YX}$:

$\vec{AB} - \vec{CD} - \vec{AE} + \vec{CF} - \vec{EF} = \vec{AB} + \vec{DC} + \vec{EA} + \vec{CF} + \vec{FE}$

Теперь перегруппируем слагаемые так, чтобы они образовывали непрерывную цепь, где начало каждого следующего вектора совпадает с концом предыдущего. Это позволит нам применить правило многоугольника для сложения векторов.

$\vec{DC} + \vec{CF} + \vec{FE} + \vec{EA} + \vec{AB}$

Согласно правилу многоугольника, сумма такой цепи векторов равна вектору, соединяющему начало первого вектора (точка D) и конец последнего вектора (точка B). Выполним сложение пошагово:

$(\vec{DC} + \vec{CF}) + \vec{FE} + \vec{EA} + \vec{AB} = \vec{DF} + \vec{FE} + \vec{EA} + \vec{AB}$

$(\vec{DF} + \vec{FE}) + \vec{EA} + \vec{AB} = \vec{DE} + \vec{EA} + \vec{AB}$

$(\vec{DE} + \vec{EA}) + \vec{AB} = \vec{DA} + \vec{AB}$

$\vec{DA} + \vec{AB} = \vec{DB}$

Таким образом, всё выражение упрощается до вектора $\vec{DB}$.

Ответ: $\vec{DB}$