Номер 7, страница 23 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 7, страница 23.

Условие.

3.7. Дана призма $ABC A_1 B_1 C_1$ (см. рис. 3.10). Найдите разность векторов:

1) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC_1}$;

2) $\overrightarrow{AA_1} - \overrightarrow{BC_1}$;

3) $\overrightarrow{BA_1} - \overrightarrow{B_1 C_1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\vec{AB} - \vec{A_1C_1}$;

В призме $ABCA_1B_1C_1$ основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равными и параллельными треугольниками. Это означает, что векторы, соответствующие их сторонам, равны. В частности, $\vec{A_1C_1} = \vec{AC}$.

Подставим это равенство в исходное выражение, чтобы заменить вектор $\vec{A_1C_1}$ на $\vec{AC}$:

$\vec{AB} - \vec{A_1C_1} = \vec{AB} - \vec{AC}$.

Мы получили разность двух векторов, выходящих из одной точки A. По правилу вычитания векторов, результат — это вектор, соединяющий концы векторов и направленный от конца вычитаемого ($\vec{AC}$) к концу уменьшаемого ($\vec{AB}$). Таким образом, $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$.

Этот же результат можно получить, преобразовав вычитание в сложение с противоположным вектором: $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{AB} + (-\vec{AC}) = \vec{AB} + \vec{CA}$. По правилу сложения векторов (правило треугольника), $\vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}$.

Ответ: $\vec{CB}$.

2) $\vec{AA_1} - \vec{BC_1}$;

Для упрощения этого выражения разложим вектор $\vec{BC_1}$ на сумму векторов, используя правило треугольника. Вектор $\vec{BC_1}$ можно представить как сумму векторов $\vec{BB_1}$ и $\vec{B_1C_1}$:

$\vec{BC_1} = \vec{BB_1} + \vec{B_1C_1}$.

Из свойств призмы известно, что все её боковые рёбра параллельны и равны, а основания являются равными и параллельными фигурами. Отсюда следуют векторные равенства:

• $\vec{BB_1} = \vec{AA_1}$ (так как $ABB_1A_1$ — параллелограмм или прямоугольник).
• $\vec{B_1C_1} = \vec{BC}$ (так как основания равны и параллельны).

Подставим эти равенства в выражение для $\vec{BC_1}$:

$\vec{BC_1} = \vec{AA_1} + \vec{BC}$.

Теперь подставим полученное выражение в исходную разность:

$\vec{AA_1} - \vec{BC_1} = \vec{AA_1} - (\vec{AA_1} + \vec{BC}) = \vec{AA_1} - \vec{AA_1} - \vec{BC} = -\vec{BC}$.

Вектор $-\vec{BC}$ противоположен вектору $\vec{BC}$, что означает $-\vec{BC} = \vec{CB}$.

Ответ: $\vec{CB}$.

3) $\vec{BA_1} - \vec{B_1C_1}$.

Так как основания призмы $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны и параллельны, то вектор $\vec{B_1C_1}$ равен вектору $\vec{BC}$:

$\vec{B_1C_1} = \vec{BC}$.

Произведем замену в исходном выражении:

$\vec{BA_1} - \vec{B_1C_1} = \vec{BA_1} - \vec{BC}$.

Получилась разность двух векторов, $\vec{BA_1}$ и $\vec{BC}$, с общим началом в точке B. Применяя правило вычитания векторов, получаем вектор, идущий от конца вычитаемого вектора (точка C) к концу уменьшаемого вектора (точка $A_1$).

Таким образом, $\vec{BA_1} - \vec{BC} = \vec{CA_1}$.

Альтернативный способ решения — через сложение векторов: $\vec{BA_1} - \vec{BC} = \vec{BA_1} + (-\vec{BC}) = \vec{BA_1} + \vec{CB}$. Используя коммутативность сложения и правило треугольника: $\vec{CB} + \vec{BA_1} = \vec{CA_1}$.

Ответ: $\vec{CA_1}$.