Номер 8, страница 23 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 8, страница 23.

Условие.

3.8. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите разность векторов:

1) $\vec{AB} - \vec{DC_1}$;

2) $\vec{AC} - \vec{DD_1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\vec{AB} - \vec{DC_1}$
Для нахождения разности векторов воспользуемся свойствами векторов в кубе. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ грани $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, а также $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$ являются параллельными и равными квадратами. Из этого следует, что векторы, лежащие на параллельных ребрах и одинаково направленные, равны. Например, вектор $\vec{AB}$ равен вектору $\vec{DC}$, так как они сонаправлены и их длины равны (равны ребру куба). Заменим в исходном выражении вектор $\vec{AB}$ на равный ему вектор $\vec{DC}$:
$\vec{AB} - \vec{DC_1} = \vec{DC} - \vec{DC_1}$
Разность двух векторов, выходящих из одной точки (в данном случае из точки $D$), равна вектору, соединяющему конец второго вектора (вычитаемого) с концом первого (уменьшаемого). Таким образом:
$\vec{DC} - \vec{DC_1} = \vec{C_1C}$
Ответ: $\vec{C_1C}$

2) $\vec{AC} - \vec{DD_1}$
Аналогично первому пункту, найдем вектор, равный вектору $\vec{DD_1}$. В кубе все боковые ребра параллельны и равны. Следовательно, вектор $\vec{DD_1}$ равен вектору $\vec{AA_1}$, так как они сонаправлены (направлены вверх) и их длины равны.
Заменим в выражении вектор $\vec{DD_1}$ на равный ему вектор $\vec{AA_1}$:
$\vec{AC} - \vec{DD_1} = \vec{AC} - \vec{AA_1}$
Мы получили разность двух векторов, выходящих из одной точки $A$. По правилу вычитания векторов, исходящих из одной точки, их разность — это вектор, идущий от конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого.
$\vec{AC} - \vec{AA_1} = \vec{A_1C}$
Ответ: $\vec{A_1C}$