Номер 12, страница 24 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 12, страница 24.

Условие.

3.12. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (см. рис. 3.13). Укажите все векторы, началом и концом каждого из которых являются вершины параллелепипеда, противоположные вектору:

1) $\overline{B_1B}$;

2) $\overline{CD_1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Два вектора называются противоположными, если их модули (длины) равны, а направления противоположны. Вектору $\vec{XY}$ противоположен вектор $\vec{YX}$, а также все векторы, равные вектору $\vec{YX}$. Векторы в параллелепипеде равны, если они сонаправлены и их длины равны, что соответствует параллельным и равным отрезкам.

1) $\vec{B_1B}$

Вектор $\vec{B_1B}$ направлен от вершины $B_1$ к вершине $B$. Противоположный ему вектор должен быть направлен от $B$ к $B_1$, то есть это вектор $\vec{BB_1}$.

В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все боковые ребра параллельны и равны. Следовательно, векторы, направленные вдоль этих ребер от нижнего основания к верхнему, равны вектору $\vec{BB_1}$.

Это векторы: $\vec{AA_1}$, $\vec{CC_1}$ и $\vec{DD_1}$.

Таким образом, все векторы, противоположные вектору $\vec{B_1B}$, — это векторы, равные вектору $\vec{BB_1}$.

Ответ: $\vec{BB_1}$, $\vec{AA_1}$, $\vec{CC_1}$, $\vec{DD_1}$.

2) $\vec{CD_1}$

Вектор $\vec{CD_1}$ направлен от вершины $C$ к вершине $D_1$. Противоположный ему вектор — это $\vec{D_1C}$.

Теперь найдем все векторы, равные вектору $\vec{D_1C}$. Вектор $\vec{CD_1}$ — это диагональ грани $CDD_1C_1$. В параллелепипеде противоположные грани параллельны и равны. Грань, противоположная грани $CDD_1C_1$, — это грань $ABB_1A_1$.

Вектор, равный вектору $\vec{CD_1}$, будет соединять соответствующие вершины в грани $ABB_1A_1$. Вершине $C$ соответствует вершина $B$, а вершине $D_1$ — вершина $A_1$. Следовательно, $\vec{CD_1} = \vec{BA_1}$.

Вектор, противоположный $\vec{CD_1}$, равен $\vec{D_1C}$. Вектор, противоположный $\vec{BA_1}$, равен $\vec{A_1B}$. Так как $\vec{CD_1} = \vec{BA_1}$, то и противоположные им векторы равны: $\vec{D_1C} = \vec{A_1B}$.

Таким образом, векторы, противоположные вектору $\vec{CD_1}$, — это $\vec{D_1C}$ и $\vec{A_1B}$.

Ответ: $\vec{D_1C}$, $\vec{A_1B}$.