Номер 19, страница 24 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 19, страница 24.

Условие.

3.19. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите сумму

$\vec{AC} + \vec{DC} + \vec{DA} + \vec{BA} + \vec{A_1D_1} + \vec{CB}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения суммы векторов $\vec{AC} + \vec{DC} + \vec{DA} + \vec{BA} + \vec{A_1D_1} + \vec{CB}$ воспользуемся свойствами векторов в параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Сначала перегруппируем слагаемые в выражении для удобства упрощения:

$(\vec{DC} + \vec{BA}) + (\vec{DA} + \vec{CB}) + \vec{A_1D_1} + \vec{AC}$

Теперь рассмотрим каждую группу векторов, используя свойства параллелепипеда:

1. В основании параллелепипеда лежит параллелограмм $ABCD$. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, следовательно, векторы, направленные вдоль этих сторон, равны: $\vec{DC} = \vec{AB}$.
Найдем сумму первой группы: $\vec{DC} + \vec{BA}$. Заменим $\vec{DC}$ на $\vec{AB}$:
$\vec{DC} + \vec{BA} = \vec{AB} + \vec{BA}$
Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$ являются противоположными, их сумма равна нулевому вектору:
$\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{AB} - \vec{AB} = \vec{0}$.

2. В параллелограмме $ABCD$ также равны векторы $\vec{AD} = \vec{BC}$. Вектор $\vec{CB}$ противоположен вектору $\vec{BC}$, то есть $\vec{CB} = -\vec{BC}$. Отсюда следует, что $\vec{CB} = -\vec{AD}$. Вектор $\vec{DA}$ противоположен вектору $\vec{AD}$, то есть $\vec{DA} = -\vec{AD}$. Таким образом, $\vec{DA} = \vec{CB}$.
Найдем сумму второй группы: $\vec{DA} + \vec{CB} = \vec{DA} + \vec{DA} = 2\vec{DA}$.

3. Грани $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ параллельны и равны, поэтому вектор $\vec{A_1D_1}$ равен вектору $\vec{AD}$.

Теперь подставим полученные результаты обратно в выражение:

$\vec{0} + 2\vec{DA} + \vec{AD} + \vec{AC}$

Так как $\vec{AD} = -\vec{DA}$, мы можем переписать выражение следующим образом:

$2\vec{DA} - \vec{DA} + \vec{AC} = \vec{DA} + \vec{AC}$

По правилу сложения векторов (правило треугольника): сумма векторов $\vec{DA}$ и $\vec{AC}$ — это вектор, который начинается в начальной точке первого вектора (точка D) и заканчивается в конечной точке второго вектора (точка C).
$\vec{DA} + \vec{AC} = \vec{DC}$.

Таким образом, итоговая сумма равна вектору $\vec{DC}$.

Ответ: $\vec{DC}$