Номер 23, страница 25 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 23, страница 25.

Условие.

3.23. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Докажите, что $|\vec{AC} + \vec{AA_1}| = |\vec{AC} - \vec{AA_1}|.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства равенства воспользуемся свойством скалярного произведения векторов, согласно которому квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату: $|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a}$.

Докажем, что квадраты левой и правой частей данного в условии равенства равны. Поскольку модуль вектора — величина неотрицательная, из равенства квадратов будет следовать и равенство самих модулей.

Рассмотрим квадрат левой части:

$|\vec{AC} + \vec{AA_1}|^2 = (\vec{AC} + \vec{AA_1}) \cdot (\vec{AC} + \vec{AA_1}) = \vec{AC} \cdot \vec{AC} + 2(\vec{AC} \cdot \vec{AA_1}) + \vec{AA_1} \cdot \vec{AA_1} = |\vec{AC}|^2 + 2(\vec{AC} \cdot \vec{AA_1}) + |\vec{AA_1}|^2$.

Рассмотрим квадрат правой части:

$|\vec{AC} - \vec{AA_1}|^2 = (\vec{AC} - \vec{AA_1}) \cdot (\vec{AC} - \vec{AA_1}) = \vec{AC} \cdot \vec{AC} - 2(\vec{AC} \cdot \vec{AA_1}) + \vec{AA_1} \cdot \vec{AA_1} = |\vec{AC}|^2 - 2(\vec{AC} \cdot \vec{AA_1}) + |\vec{AA_1}|^2$.

Фигура $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является прямоугольным параллелепипедом. По определению, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$.

Вектор $\vec{AC}$ (диагональ основания) полностью лежит в плоскости $ABCD$. Следовательно, вектор $\vec{AA_1}$ перпендикулярен (ортогонален) вектору $\vec{AC}$.

Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю:

$\vec{AC} \cdot \vec{AA_1} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{AA_1}| \cdot \cos(90^\circ) = 0$.

Подставим это значение в выражения для квадратов модулей:

$|\vec{AC} + \vec{AA_1}|^2 = |\vec{AC}|^2 + 2(0) + |\vec{AA_1}|^2 = |\vec{AC}|^2 + |\vec{AA_1}|^2$.

$|\vec{AC} - \vec{AA_1}|^2 = |\vec{AC}|^2 - 2(0) + |\vec{AA_1}|^2 = |\vec{AC}|^2 + |\vec{AA_1}|^2$.

Мы видим, что квадраты левой и правой частей исходного равенства равны:

$|\vec{AC} + \vec{AA_1}|^2 = |\vec{AC} - \vec{AA_1}|^2$.

Следовательно, равны и сами модули:

$|\vec{AC} + \vec{AA_1}| = |\vec{AC} - \vec{AA_1}|$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.