Номер 18, страница 24 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 18, страница 24.

Условие.

3.18. Дан параллелепипед $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Найдите сумму

$\vec{A_1 A} + \vec{B_1 C_1} + \vec{BC} + \vec{DD_1} + \vec{AB} + \vec{CB_1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения суммы векторов $\vec{A_1A} + \vec{B_1C_1} + \vec{BC} + \vec{DD_1} + \vec{AB} + \vec{CB_1}$ воспользуемся свойствами векторов в параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и правилами сложения векторов.

1. Сгруппируем слагаемые в исходном выражении для удобства упрощения:

$S = (\vec{AB} + \vec{BC}) + (\vec{A_1A} + \vec{DD_1}) + \vec{B_1C_1} + \vec{CB_1}$

Рассмотрим другую, более удобную группировку, которая позволяет последовательно применять правило треугольника (правило замыкающей):

$S = \vec{AB} + (\vec{BC} + \vec{CB_1}) + (\vec{A_1A} + \vec{DD_1}) + \vec{B_1C_1}$

2. Упростим слагаемые в скобках:

По правилу треугольника для сложения векторов, сумма векторов, идущих последовательно друг за другом, равна вектору, соединяющему начало первого и конец последнего. Таким образом:

$\vec{BC} + \vec{CB_1} = \vec{BB_1}$

В параллелепипеде противолежащие ребра параллельны и равны, поэтому соответствующие им векторы равны. В частности, $\vec{DD_1} = \vec{AA_1}$. Вектор $\vec{A_1A}$ направлен противоположно вектору $\vec{AA_1}$, поэтому $\vec{A_1A} = -\vec{AA_1}$. Тогда их сумма:

$\vec{A_1A} + \vec{DD_1} = -\vec{AA_1} + \vec{AA_1} = \vec{0}$ (нулевой вектор).

3. Подставим полученные результаты обратно в выражение для суммы:

$S = \vec{AB} + \vec{BB_1} + \vec{0} + \vec{B_1C_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1} + \vec{B_1C_1}$

4. Теперь последовательно сложим оставшиеся векторы, снова используя правило треугольника:

Сначала сложим первые два вектора:

$\vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{AB_1}$

Теперь наша сумма выглядит так:

$S = \vec{AB_1} + \vec{B_1C_1}$

И снова применяем правило треугольника:

$\vec{AB_1} + \vec{B_1C_1} = \vec{AC_1}$

Таким образом, искомая сумма векторов равна вектору $\vec{AC_1}$, который является диагональю параллелепипеда.

Ответ: $\vec{AC_1}$.