Номер 22, страница 24 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 22, страница 24.

Условие.

3.22. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Докажите, что $\vec{OA} + \vec{OC_1} = \vec{OA_1} + \vec{OC}$, где $O$ — произвольная точка пространства.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Доказательство:

Для доказательства равенства $ \vec{OA} + \vec{OC_1} = \vec{OA_1} + \vec{OC} $ преобразуем его, перенеся слагаемые таким образом, чтобы сгруппировать векторы, оканчивающиеся в одноименных вершинах (A и A₁, C и C₁).

$ \vec{OA} - \vec{OA_1} = \vec{OC} - \vec{OC_1} $

Теперь воспользуемся правилом вычитания векторов. Для любых трех точек X, Y, Z справедливо равенство $ \vec{XY} = \vec{ZY} - \vec{ZX} $. Применив это правило к обеим частям нашего уравнения, получим:

В левой части: $ \vec{OA} - \vec{OA_1} = \vec{A_1A} $

В правой части: $ \vec{OC} - \vec{OC_1} = \vec{C_1C} $

Таким образом, исходное равенство эквивалентно следующему:$ \vec{A_1A} = \vec{C_1C} $

Рассмотрим параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. По определению параллелепипеда его боковые ребра параллельны и равны по длине. В частности, ребро $AA_1$ параллельно и равно ребру $CC_1$. Это означает, что векторы, определяющие эти ребра, равны:$ \vec{AA_1} = \vec{CC_1} $

Векторы $ \vec{A_1A} $ и $ \vec{C_1C} $ являются противоположными к векторам $ \vec{AA_1} $ и $ \vec{CC_1} $ соответственно. Следовательно:$ \vec{A_1A} = -\vec{AA_1} $ и $ \vec{C_1C} = -\vec{CC_1} $

Так как $ \vec{AA_1} = \vec{CC_1} $, то, умножив обе части на -1, получим $ -\vec{AA_1} = -\vec{CC_1} $, что равносильно $ \vec{A_1A} = \vec{C_1C} $.

Поскольку мы пришли к верному векторному равенству, основанному на свойствах параллелепипеда, то и исходное равенство $ \vec{OA} + \vec{OC_1} = \vec{OA_1} + \vec{OC} $ также является верным, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ \vec{OA} + \vec{OC_1} = \vec{OA_1} + \vec{OC} $ доказано.