Номер 26, страница 25 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 26, страница 25.

Условие.

3.26. Найдите координаты точки A такой, что $\vec{AB} + \vec{AC} = \vec{0}$, если $B (4; -2; 12), C (3; -1; 4).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть искомая точка $A$ имеет координаты $(x; y; z)$. Координаты вектора, идущего от точки $P_1(x_1; y_1; z_1)$ к точке $P_2(x_2; y_2; z_2)$, вычисляются как разность соответствующих координат: $\vec{P_1P_2} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)$.

Используя это правило и зная координаты точек $B(4; -2; 12)$ и $C(3; -1; 4)$, найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$:

$\vec{AB} = (4 - x; -2 - y; 12 - z)$

$\vec{AC} = (3 - x; -1 - y; 4 - z)$

Согласно условию задачи, сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ равна нулевому вектору $\vec{0}$, который имеет координаты $(0; 0; 0)$.

$\vec{AB} + \vec{AC} = \vec{0}$

Сложим векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, складывая их соответствующие координаты:

$((4 - x) + (3 - x); (-2 - y) + (-1 - y); (12 - z) + (4 - z)) = (0; 0; 0)$

Упростив выражения в скобках, получим:

$(7 - 2x; -3 - 2y; 16 - 2z) = (0; 0; 0)$

Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты. Это позволяет нам составить систему из трех уравнений:

$ \begin{cases} 7 - 2x = 0 \\ -3 - 2y = 0 \\ 16 - 2z = 0 \end{cases} $

Решим каждое уравнение системы, чтобы найти искомые координаты $x, y, z$ точки $A$:

1) $7 - 2x = 0 \Rightarrow 2x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{2} = 3.5$

2) $-3 - 2y = 0 \Rightarrow 2y = -3 \Rightarrow y = -\frac{3}{2} = -1.5$

3) $16 - 2z = 0 \Rightarrow 2z = 16 \Rightarrow z = \frac{16}{2} = 8$

Таким образом, координаты точки $A$ равны $(3.5; -1.5; 8)$.

Геометрически условие $\vec{AB} + \vec{AC} = \vec{0}$ означает, что точка $A$ является серединой отрезка $BC$. Проверим это, используя формулу для координат середины отрезка:

$x_A = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{4 + 3}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$

$y_A = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{-2 + (-1)}{2} = \frac{-3}{2} = -1.5$

$z_A = \frac{z_B + z_C}{2} = \frac{12 + 4}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Результаты совпадают, что подтверждает правильность решения.

Ответ: $A(3.5; -1.5; 8)$