Номер 32, страница 25 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 32, страница 25.

Условие.

3.32. Даны векторы $\vec{a} (2; -1; 4)$, $\vec{b} (0; -3; 6)$ и $\vec{c} (1; y; 5)$. Какое наименьшее значение принимает модуль вектора $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ и при каком значении $y$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи найдем сначала координаты результирующего вектора $\vec{d} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$. Операции сложения и вычитания векторов выполняются покоординатно.

Исходные векторы: $\vec{a}(2; -1; 4)$, $\vec{b}(0; -3; 6)$ и $\vec{c}(1; y; 5)$.

Координаты вектора $\vec{d}$ равны:
$d_x = a_x + b_x - c_x = 2 + 0 - 1 = 1$
$d_y = a_y + b_y - c_y = -1 + (-3) - y = -4 - y$
$d_z = a_z + b_z - c_z = 4 + 6 - 5 = 5$

Таким образом, вектор $\vec{d}$ имеет координаты $(1; -4 - y; 5)$.

Далее найдем модуль (длину) вектора $\vec{d}$, который вычисляется по формуле $|\vec{d}| = \sqrt{d_x^2 + d_y^2 + d_z^2}$:

$|\vec{d}| = |\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}| = \sqrt{1^2 + (-4 - y)^2 + 5^2}$

Упростим это выражение:

$|\vec{d}| = \sqrt{1 + (-(4+y))^2 + 25} = \sqrt{1 + (y+4)^2 + 25} = \sqrt{(y+4)^2 + 26}$

Нам необходимо найти наименьшее значение этого выражения. Значение квадратного корня будет наименьшим, когда подкоренное выражение принимает свое наименьшее значение.

Рассмотрим подкоренное выражение $f(y) = (y+4)^2 + 26$.
Слагаемое $(y+4)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда больше или равно нулю. Наименьшее значение, равное 0, оно принимает при условии, что $y+4 = 0$.

Отсюда находим значение $y$, при котором модуль будет минимальным:

$y + 4 = 0 \implies y = -4$

Теперь найдем наименьшее значение модуля, подставив $y = -4$ в его выражение:

$|\vec{d}|_{min} = \sqrt{(-4+4)^2 + 26} = \sqrt{0^2 + 26} = \sqrt{26}$

Ответ: Наименьшее значение модуля равно $\sqrt{26}$ при $y = -4$.