Номер 33, страница 25 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 33, страница 25.

Условие.

ний y?

3.33. Даны векторы $ \vec{m} (6; -2; z), \vec{n} (x; 1; 2) $ и $ \vec{k} (3; -4; -7) $. Какое наименьшее значение принимает модуль вектора $ \vec{m} - \vec{n} - \vec{k} $ и при каких значениях $x$ и $z$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы найти наименьшее значение модуля вектора $\vec{m} - \vec{n} - \vec{k}$, сначала найдем координаты результирующего вектора. Обозначим его как $\vec{a}$.

$\vec{a} = \vec{m} - \vec{n} - \vec{k}$

Координаты вектора $\vec{a}$ вычисляются как разность соответствующих координат векторов $\vec{m}$, $\vec{n}$ и $\vec{k}$.
Даны векторы: $\vec{m}(6; -2; z)$, $\vec{n}(x; 1; 2)$ и $\vec{k}(3; -4; -7)$.

$a_x = m_x - n_x - k_x = 6 - x - 3 = 3 - x$
$a_y = m_y - n_y - k_y = -2 - 1 - (-4) = -2 - 1 + 4 = 1$
$a_z = m_z - n_z - k_z = z - 2 - (-7) = z - 2 + 7 = z + 5$

Таким образом, вектор $\vec{a}$ имеет координаты: $\vec{a} = (3 - x; 1; z + 5)$.

Модуль (длина) вектора $\vec{a}$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$. Подставим найденные координаты:
$|\vec{a}| = |\vec{m} - \vec{n} - \vec{k}| = \sqrt{(3 - x)^2 + 1^2 + (z + 5)^2} = \sqrt{(3 - x)^2 + 1 + (z + 5)^2}$

Чтобы найти наименьшее значение модуля $|\vec{a}|$, необходимо найти наименьшее значение подкоренного выражения $f(x, z) = (3 - x)^2 + 1 + (z + 5)^2$.

Выражение $f(x, z)$ представляет собой сумму трех слагаемых:

• $(3 - x)^2$ — это квадрат действительного числа, его значение всегда неотрицательно ($ \ge 0 $). Наименьшее значение, равное 0, достигается при $3 - x = 0$, то есть при $x = 3$.
• $1$ — это константа.
• $(z + 5)^2$ — это квадрат действительного числа, его значение также всегда неотрицательно ($ \ge 0 $). Наименьшее значение, равное 0, достигается при $z + 5 = 0$, то есть при $z = -5$.

Следовательно, наименьшее значение подкоренного выражения достигается, когда оба квадрата равны нулю. Это значение равно $0 + 1 + 0 = 1$.

Наименьшее значение модуля вектора будет равно квадратному корню из этого наименьшего значения:
$|\vec{a}|_{min} = \sqrt{1} = 1$.

Это наименьшее значение достигается при $x = 3$ и $z = -5$.

Ответ: наименьшее значение модуля вектора равно 1 при $x=3$ и $z=-5$.