Номер 30, страница 25 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 30, страница 25.

Условие.

3.30. Дан параллелепипед $ABCD A_1B_1C_1D_1$. Выразите вектор $\vec{AA_1}$ через векторы $\vec{B_1A}$, $\vec{B_1C}$ и $\vec{B_1D}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи введем базисные векторы, исходящие из одной вершины параллелепипеда, например, из вершины $A$. Обозначим:

$\vec{AB} = \vec{a}$

$\vec{AD} = \vec{b}$

$\vec{AA_1} = \vec{c}$

Цель задачи — выразить вектор $\vec{c}$ через заданные векторы $\vec{B_1A}$, $\vec{B_1C}$ и $\vec{B_1D}$.

Для этого выразим заданные векторы через наш базис, используя правила сложения векторов и свойства параллелепипеда:

1. Выразим вектор $\vec{B_1A}$. По правилу треугольника для векторов: $\vec{B_1A} = \vec{B_1B} + \vec{BA}$.

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — параллелепипед, то $\vec{B_1B} = -\vec{BB_1} = -\vec{AA_1} = -\vec{c}$, а $\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{a}$.

Следовательно, $\vec{B_1A} = -\vec{c} - \vec{a} = -\vec{a} - \vec{c}$. (1)

2. Выразим вектор $\vec{B_1C}$. По правилу треугольника: $\vec{B_1C} = \vec{B_1B} + \vec{BC}$.

Мы знаем, что $\vec{B_1B} = -\vec{c}$ и $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$.

Следовательно, $\vec{B_1C} = -\vec{c} + \vec{b} = \vec{b} - \vec{c}$. (2)

3. Выразим вектор $\vec{B_1D}$. По правилу треугольника: $\vec{B_1D} = \vec{B_1B} + \vec{BD}$.

Вектор диагонали основания $\vec{BD}$ можно представить как сумму векторов: $\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = -\vec{a} + \vec{b}$.

Следовательно, $\vec{B_1D} = -\vec{c} + (-\vec{a} + \vec{b}) = -\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$. (3)

Теперь у нас есть система из трех векторных уравнений с тремя неизвестными базисными векторами $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$:

$\begin{cases} \vec{B_1A} = -\vec{a} - \vec{c} \\ \vec{B_1C} = \vec{b} - \vec{c} \\ \vec{B_1D} = -\vec{a} + \vec{b} - \vec{c} \end{cases}$

Наша задача - найти $\vec{c}$. Для этого выразим векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ из первых двух уравнений:

Из уравнения (1): $\vec{a} = -\vec{B_1A} - \vec{c}$.

Из уравнения (2): $\vec{b} = \vec{B_1C} + \vec{c}$.

Подставим полученные выражения для $\vec{a}$ и $\vec{b}$ в третье уравнение (3):

$\vec{B_1D} = -(-\vec{B_1A} - \vec{c}) + (\vec{B_1C} + \vec{c}) - \vec{c}$

Раскроем скобки:

$\vec{B_1D} = \vec{B_1A} + \vec{c} + \vec{B_1C} + \vec{c} - \vec{c}$

Приведем подобные слагаемые:

$\vec{B_1D} = \vec{B_1A} + \vec{B_1C} + \vec{c}$

Из этого уравнения выразим искомый вектор $\vec{c}$:

$\vec{c} = \vec{B_1D} - \vec{B_1A} - \vec{B_1C}$

Поскольку мы обозначили $\vec{c} = \vec{AA_1}$, то получаем искомое выражение.

Ответ: $\vec{AA_1} = \vec{B_1D} - \vec{B_1A} - \vec{B_1C}$.