Номер 24, страница 25 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 24, страница 25.

Условие.

3.24. Сторона основания правильной пирамиды $MABCD$ равна 2 см. Найдите модуль вектора $\vec{m} = \vec{AM} + \vec{AD} - \vec{BM}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение
По условию задачи нам нужно найти модуль вектора $\vec{m} = \vec{AM} + \vec{AD} - \vec{BM}$.
Воспользуемся свойствами векторов. Замена вектора на противоположный ему дает: $-\vec{BM} = \vec{MB}$.
Подставим это в исходное выражение:
$\vec{m} = \vec{AM} + \vec{AD} + \vec{MB}$
Перегруппируем слагаемые для удобства:
$\vec{m} = \vec{MB} + \vec{AM} + \vec{AD}$
Применим правило сложения векторов (правило треугольника или правило Шаля): $\vec{MB} + \vec{AM} = \vec{AB}$.
Таким образом, выражение для вектора $\vec{m}$ упрощается:
$\vec{m} = \vec{AB} + \vec{AD}$
В основании правильной пирамиды $MABCD$ лежит правильный четырехугольник, то есть квадрат $ABCD$. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ являются векторами смежных сторон этого квадрата.
Сумма векторов смежных сторон параллелограмма (и, в частности, квадрата), выходящих из одной вершины, равна вектору диагонали, выходящему из той же вершины. Следовательно:
$\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$
Значит, $\vec{m} = \vec{AC}$.
Модуль вектора $\vec{m}$ равен длине диагонали квадрата $AC$.
$|\vec{m}| = |\vec{AC}| = AC$
Сторона основания (квадрата) равна 2 см. Длину диагонали квадрата можно найти по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle ABC$:
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.
Ответ: $2\sqrt{2}$ см.