Номер 31, страница 25 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 31, страница 25.

Условие.

3.31. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Выразите вектор $\vec{AD_1}$ через векторы $\vec{AA_1}$, $\vec{AB_1}$ и $\vec{AC_1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи воспользуемся правилом сложения векторов в параллелепипеде. Введем три некомпланарных вектора, отложенных от вершины A: $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$.
Искомый вектор $\vec{AD_1}$ можно представить как сумму векторов по ребрам. По правилу треугольника для векторов:
$\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{DD_1}$.
Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — параллелепипед, то $\vec{DD_1} = \vec{AA_1}$.
Следовательно, искомый вектор выражается через рёбра как:
$\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1}$.

Теперь выразим векторы, данные в условии, через тот же базис ($\vec{AB}$, $\vec{AD}$, $\vec{AA_1}$):
1. Вектор $\vec{AA_1}$ уже является одним из базисных.
2. Вектор $\vec{AB_1}$ является диагональю боковой грани. По правилу параллелограмма: $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1}$.
3. Вектор $\vec{AC_1}$ является главной диагональю параллелепипеда: $\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$.

Наша цель — выразить $\vec{AD}$ и $\vec{AA_1}$ через данные векторы $\vec{AA_1}$, $\vec{AB_1}$ и $\vec{AC_1}$ и подставить их в выражение для $\vec{AD_1}$.
Вектор $\vec{AA_1}$ нам уже дан.
Чтобы найти вектор $\vec{AD}$, рассмотрим разность векторов $\vec{AC_1}$ и $\vec{AB_1}$:
$\vec{AC_1} - \vec{AB_1} = (\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}) - (\vec{AB} + \vec{AA_1})$
$\vec{AC_1} - \vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} - \vec{AB} - \vec{AA_1}$
$\vec{AC_1} - \vec{AB_1} = \vec{AD}$

Теперь подставим полученное выражение для $\vec{AD}$ и данный вектор $\vec{AA_1}$ в формулу для $\vec{AD_1}$:
$\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1} = (\vec{AC_1} - \vec{AB_1}) + \vec{AA_1}$
Перегруппировав слагаемые, получаем окончательное выражение:
$\vec{AD_1} = \vec{AA_1} - \vec{AB_1} + \vec{AC_1}$

Ответ: $\vec{AD_1} = \vec{AA_1} - \vec{AB_1} + \vec{AC_1}$.