Номер 25, страница 25 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 25, страница 25.

Условие.

3.25. Сторона основания правильной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна 4 см. Точка $D-$ середина ребра $AB$. Найдите модуль вектора $\vec{a} = \vec{B_1B} - \vec{DA} - \vec{A_1C}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения модуля вектора $\vec{a} = \vec{B_1B} - \vec{DA} - \vec{A_1C}$ упростим данное выражение, используя свойства векторов.

1. Заменим вычитание векторов на сложение с противоположными векторами:

$\vec{a} = \vec{B_1B} + (-\vec{DA}) + (-\vec{A_1C})$

По определению противоположного вектора, $-\vec{DA} = \vec{AD}$ и $-\vec{A_1C} = \vec{CA_1}$. Тогда выражение принимает вид:

$\vec{a} = \vec{B_1B} + \vec{AD} + \vec{CA_1}$

2. Используем свойства правильной призмы. В призме $ABCA_1B_1C_1$ боковые ребра параллельны и равны, поэтому векторы, соответствующие этим ребрам, равны: $\vec{AA_1} = \vec{BB_1}$.

Вектор $\vec{B_1B}$ является противоположным вектору $\vec{BB_1}$, следовательно:

$\vec{B_1B} = -\vec{BB_1} = -\vec{AA_1}$

3. Разложим вектор $\vec{CA_1}$ по правилу треугольника (правило сложения векторов):

$\vec{CA_1} = \vec{CA} + \vec{AA_1}$

4. Подставим полученные выражения для $\vec{B_1B}$ и $\vec{CA_1}$ в формулу для вектора $\vec{a}$:

$\vec{a} = (-\vec{AA_1}) + \vec{AD} + (\vec{CA} + \vec{AA_1})$

5. Сгруппируем слагаемые и выполним сложение:

$\vec{a} = \vec{AD} + \vec{CA} + \vec{AA_1} - \vec{AA_1}$

Векторы $\vec{AA_1}$ и $-\vec{AA_1}$ являются противоположными, и их сумма равна нулевому вектору. Таким образом, они взаимно уничтожаются:

$\vec{a} = \vec{AD} + \vec{CA}$

Используя переместительное свойство сложения векторов и правило треугольника, получаем:

$\vec{a} = \vec{CA} + \vec{AD} = \vec{CD}$

6. Таким образом, искомый вектор $\vec{a}$ равен вектору $\vec{CD}$. Модуль вектора $\vec{a}$ равен длине отрезка $CD$.

$|\vec{a}| = |\vec{CD}|$

7. Найдем длину отрезка $CD$. В основании правильной призмы лежит равносторонний треугольник $ABC$ со стороной 4 см. Точка $D$ — середина стороны $AB$. Следовательно, отрезок $CD$ является медианой треугольника $ABC$. В равностороннем треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Значит, треугольник $ADC$ — прямоугольный с прямым углом $\angle ADC$.

В треугольнике $ADC$:

• гипотенуза $AC = 4$ см (сторона основания);
• катет $AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см (так как $D$ — середина $AB$).

По теореме Пифагора найдем длину катета $CD$:

$AC^2 = AD^2 + CD^2$

$CD^2 = AC^2 - AD^2 = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12$

$CD = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ см.

Следовательно, модуль вектора $\vec{a}$ равен $2\sqrt{3}$ см.

Ответ: $2\sqrt{3}$ см.