Номер 28, страница 25 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 28, страница 25.

Условие.

3.28. Даны треугольники ABC и A$_1$B$_1$C$_1$. Докажите, что

$\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{AB_1} + \overrightarrow{BC_1} + \overrightarrow{CA_1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства данного векторного равенства воспользуемся правилом сложения векторов (правилом многоугольника, также известным как правило Шаля). Преобразуем правую часть доказываемого равенства.

Рассмотрим правую часть: $\vec{AB_1} + \vec{BC_1} + \vec{CA_1}$.

Представим каждый вектор в этой сумме как сумму двух векторов, используя правило многоугольника. Для вектора $\vec{AB_1}$ мы можем построить путь из точки A в точку $B_1$ через точку B. Таким образом:

$\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$

Аналогично представим два других вектора:

$\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1}$

$\vec{CA_1} = \vec{CA} + \vec{AA_1}$

Теперь подставим эти выражения в правую часть исходного равенства:

$\vec{AB_1} + \vec{BC_1} + \vec{CA_1} = (\vec{AB} + \vec{BB_1}) + (\vec{BC} + \vec{CC_1}) + (\vec{CA} + \vec{AA_1})$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить левую часть исходного равенства:

$(\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1}) + (\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA})$

Рассмотрим сумму векторов в скобках $(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA})$. Эта сумма представляет собой сумму векторов, образующих замкнутый контур по сторонам треугольника ABC. По правилу сложения векторов:

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Тогда сумма векторов равна:

$\vec{AC} + \vec{CA} = \vec{AA} = \vec{0}$

Таким образом, сумма векторов, образующих стороны треугольника, равна нулевому вектору.

Подставим этот результат в наше выражение:

$(\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1}) + \vec{0} = \vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1}$

Мы показали, что правая часть равенства тождественно равна левой части. Следовательно, равенство доказано.

Ответ: Равенство $\vec{AA_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1} = \vec{AB_1} + \vec{BC_1} + \vec{CA_1}$ доказано.