Номер 21, страница 24 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 21, страница 24.

Условие.

3.21. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите вектор, равный $\overrightarrow{AA_1} - \overrightarrow{DC_1} + \overrightarrow{BC}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи необходимо упростить векторное выражение $\vec{AA_1} - \vec{DC_1} + \vec{BC}$, используя свойства векторов в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Будем последовательно преобразовывать выражение, заменяя векторы на равные им, чтобы можно было применить правило сложения векторов (правило треугольника).

Сначала заменим некоторые векторы в выражении. Вектор $\vec{AA_1}$ равен вектору $\vec{CC_1}$, так как ребра $AA_1$ и $CC_1$ куба параллельны, равны по длине и сонаправлены. Вычитание вектора $\vec{DC_1}$ эквивалентно прибавлению противоположного ему вектора, то есть $-\vec{DC_1} = \vec{C_1D}$.

Подставим эти замены в исходное выражение, получим:

$\vec{CC_1} + \vec{C_1D} + \vec{BC}$

Теперь мы можем применить правило треугольника для суммы первых двух векторов, так как конец первого вектора ($\vec{CC_1}$) совпадает с началом второго ($\vec{C_1D}$):

$\vec{CC_1} + \vec{C_1D} = \vec{CD}$

Выражение упрощается до суммы $\vec{CD} + \vec{BC}$. Для удобства переставим слагаемые:

$\vec{BC} + \vec{CD}$

Снова применяем правило треугольника, так как конец вектора $\vec{BC}$ (точка C) совпадает с началом вектора $\vec{CD}$. Результатом будет вектор, соединяющий начало первого вектора (B) и конец второго (D):

$\vec{BC} + \vec{CD} = \vec{BD}$

Таким образом, искомый вектор равен $\vec{BD}$.

Ответ: $\vec{BD}$