Номер 17, страница 24 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 17, страница 24.

Условие.

3.17. Докажите, что векторы $\vec{CD} + \vec{DE} - \vec{KE}$ и $\vec{MC} - \vec{MK} - \vec{EC}$ противоположны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы доказать, что два вектора являются противоположными, необходимо показать, что их сумма равна нулевому вектору. Обозначим данные векторы как $\vec{v_1} = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} - \overrightarrow{KE}$ и $\vec{v_2} = \overrightarrow{MC} - \overrightarrow{MK} - \overrightarrow{EC}$.

Найдем сумму этих векторов $\vec{v_1} + \vec{v_2}$ и упростим ее, используя правила действий с векторами, в частности правило треугольника (или правило Шаля) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ и свойство противоположного вектора $-\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}$.

Сначала упростим выражение для первого вектора $\vec{v_1}$:

$\vec{v_1} = (\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE}) - \overrightarrow{KE}$

Применяя правило треугольника к сумме в скобках, получаем $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{CE}$.

$\vec{v_1} = \overrightarrow{CE} - \overrightarrow{KE}$

Вычитание вектора $\overrightarrow{KE}$ эквивалентно прибавлению противоположного ему вектора $\overrightarrow{EK}$:

$\vec{v_1} = \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{EK}$

Снова применяя правило треугольника, находим:

$\vec{v_1} = \overrightarrow{CK}$

Теперь упростим выражение для второго вектора $\vec{v_2}$:

$\vec{v_2} = \overrightarrow{MC} - \overrightarrow{MK} - \overrightarrow{EC}$

Используем правило вычитания векторов, отложенных от одной точки ($\overrightarrow{XA} - \overrightarrow{XB} = \overrightarrow{BA}$):

$\overrightarrow{MC} - \overrightarrow{MK} = \overrightarrow{KC}$

Тогда выражение для $\vec{v_2}$ принимает вид:

$\vec{v_2} = \overrightarrow{KC} - \overrightarrow{EC}$

Заменяем вычитание $\overrightarrow{EC}$ на сложение с противоположным вектором $\overrightarrow{CE}$:

$\vec{v_2} = \overrightarrow{KC} + \overrightarrow{CE}$

По правилу треугольника получаем:

$\vec{v_2} = \overrightarrow{KE}$

Теперь найдем сумму векторов $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$:

$\vec{v_1} + \vec{v_2} = \overrightarrow{CK} + \overrightarrow{KE}$

По правилу треугольника, их сумма равна:

$\vec{v_1} + \vec{v_2} = \overrightarrow{CE}$

Сумма данных векторов равна $\overrightarrow{CE}$. Она будет равна нулевому вектору только в частном случае, когда точки C и E совпадают. В общем случае, когда точки C и E различны, их сумма не равна нулевому вектору, и, следовательно, векторы не являются противоположными. Таким образом, доказать исходное утверждение для произвольного расположения точек невозможно, так как оно неверно.

Ответ: Утверждение в задаче неверно. Векторы $\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} - \overrightarrow{KE}$ и $\overrightarrow{MC} - \overrightarrow{MK} - \overrightarrow{EC}$ в общем случае не являются противоположными, так как их сумма равна $\overrightarrow{CE}$, а не нулевому вектору.