Номер 11, страница 24 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 11, страница 24.

Условие.

3.11. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 3.13). Укажите все векторы, началом и концом каждого из которых являются вершины параллелепипеда, противоположные вектору:

1) $\vec{AD}$;

2) $\vec{B_1D}$;

3) $\vec{AC}$.

Рис. 3.13

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Два вектора называются противоположными, если они имеют одинаковую длину (модуль) и противоположные направления. Вектор, противоположный вектору $\overline{v}$, обозначается как $-\overline{v}$. Если вектор задан начальной и конечной точками, например $\overline{XY}$, то противоположным ему будет вектор $\overline{YX}$. Задача состоит в том, чтобы для каждого заданного вектора найти все векторы с началом и концом в вершинах параллелепипеда, которые ему противоположны (то есть равны его обратному вектору).

1) $\overline{AD}$

Вектор, противоположный вектору $\overline{AD}$, это вектор $\overline{DA}$. Нам нужно найти все векторы, равные вектору $\overline{DA}$.В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ грани являются параллелограммами. Поэтому противоположные стороны граней параллельны и равны по длине.Векторы, сонаправленные с $\overline{AD}$ и равные ему по длине, это рёбра, параллельные ребру $AD$:$\overline{AD} = \overline{BC} = \overline{A_1D_1} = \overline{B_1C_1}$.Векторы, противоположные $\overline{AD}$, будут иметь противоположное направление. Таким образом, мы ищем векторы, равные $-\overline{AD} = \overline{DA}$.Исходя из равенств выше, получаем:$-\overline{AD} = \overline{DA}$$-\overline{BC} = \overline{CB}$$-\overline{A_1D_1} = \overline{D_1A_1}$$-\overline{B_1C_1} = \overline{C_1B_1}$Следовательно, все векторы, противоположные вектору $\overline{AD}$, — это $\overline{DA}$, $\overline{CB}$, $\overline{D_1A_1}$ и $\overline{C_1B_1}$.
Ответ: $\overline{DA}$, $\overline{CB}$, $\overline{D_1A_1}$, $\overline{C_1B_1}$.

2) $\overline{B_1D}$

Вектор, противоположный вектору $\overline{B_1D}$, это вектор $\overline{DB_1}$. Вектор $\overline{B_1D}$ является пространственной диагональю параллелепипеда. В общем случае параллелепипеда нет других отрезков между вершинами, которые были бы параллельны и равны по длине данной диагонали. Следовательно, существует только один вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, противоположный вектору $\overline{B_1D}$. Это вектор с теми же вершинами, но в обратном порядке.
Ответ: $\overline{DB_1}$.

3) $\overline{AC}$

Вектор, противоположный вектору $\overline{AC}$, это вектор $\overline{CA}$. Вектор $\overline{AC}$ является диагональю грани (основания) $ABCD$. Противоположная грань $A_1B_1C_1D_1$ является параллелограммом, равным $ABCD$. Следовательно, их соответствующие диагонали равны и параллельны.Таким образом, вектор-диагональ $\overline{A_1C_1}$ равен вектору $\overline{AC}$:$\overline{AC} = \overline{A_1C_1}$.Векторы, противоположные $\overline{AC}$, будут равны $-\overline{AC} = \overline{CA}$.Из равенства $\overline{AC} = \overline{A_1C_1}$ следует, что $-\overline{AC} = -\overline{A_1C_1} = \overline{C_1A_1}$.Таким образом, векторы, противоположные $\overline{AC}$, — это $\overline{CA}$ и $\overline{C_1A_1}$.
Ответ: $\overline{CA}$, $\overline{C_1A_1}$.