Номер 6, страница 23 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 6, страница 23.

Условие.

3.6. Даны векторы $ \vec{m} (-7; -1; 8) $ и $ \vec{n} (-3; 2; -4) $. Найдите:

1) координаты вектора $ \vec{m} + \vec{n} $;

2) $ |\vec{m} + \vec{n}| $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Даны векторы $\vec{m}(-7; -1; 8)$ и $\vec{n}(-3; 2; -4)$.

1) координаты вектора $\vec{m} + \vec{n}$

Чтобы найти координаты вектора, являющегося суммой двух векторов, необходимо сложить их соответствующие координаты. Пусть $\vec{c} = \vec{m} + \vec{n}$. Координаты вектора $\vec{c}(c_x; c_y; c_z)$ вычисляются по формулам:

$c_x = m_x + n_x = -7 + (-3) = -10$

$c_y = m_y + n_y = -1 + 2 = 1$

$c_z = m_z + n_z = 8 + (-4) = 4$

Следовательно, координаты вектора $\vec{m} + \vec{n}$ равны $(-10; 1; 4)$.

Ответ: $(-10; 1; 4)$.

2) $|\vec{m} + \vec{n}|$

Модуль (или длина) вектора находится как квадратный корень из суммы квадратов его координат. В предыдущем пункте мы нашли, что вектор $\vec{m} + \vec{n}$ имеет координаты $(-10; 1; 4)$.

Вычислим его модуль по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$:

$|\vec{m} + \vec{n}| = \sqrt{(-10)^2 + 1^2 + 4^2}$

$|\vec{m} + \vec{n}| = \sqrt{100 + 1 + 16}$

$|\vec{m} + \vec{n}| = \sqrt{117}$

Для упрощения можно разложить подкоренное выражение на множители: $117 = 9 \cdot 13$.

$|\vec{m} + \vec{n}| = \sqrt{9 \cdot 13} = 3\sqrt{13}$

Ответ: $\sqrt{117}$ (или $3\sqrt{13}$).