Номер 1, страница 23 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 1, страница 23.

Условие.

3.1. Дана призма $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 3.10). Найдите сумму векторов:

1) $\vec{BC} + \vec{AA_1}$;

2) $\vec{BA} + \vec{A_1C_1}$.

Рис. 3.10

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи воспользуемся свойствами векторов и призмы.

В призме $ABCA_1B_1C_1$ основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равными и параллельными многоугольниками, а боковые ребра ($AA_1$, $BB_1$, $CC_1$) параллельны и равны.

Из этих свойств следуют равенства векторов:

• $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1}$
• $\vec{AB} = \vec{A_1B_1}$, $\vec{BC} = \vec{B_1C_1}$, $\vec{AC} = \vec{A_1C_1}$

1) $\vec{BC} + \vec{AA_1}$

Используем равенство векторов боковых ребер. Заменим вектор $\vec{AA_1}$ на равный ему вектор $\vec{CC_1}$, чтобы можно было применить правило сложения векторов (правило треугольника или правило Шаля):

$\vec{BC} + \vec{AA_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1}$

Сумма векторов, где начало второго вектора совпадает с концом первого, равна вектору, начало которого совпадает с началом первого, а конец — с концом второго. Таким образом:

$\vec{BC} + \vec{CC_1} = \vec{BC_1}$

Ответ: $\vec{BC_1}$

2) $\vec{BA} + \vec{A_1C_1}$

Используем равенство векторов соответствующих сторон оснований. Заменим вектор $\vec{A_1C_1}$ на равный ему вектор $\vec{AC}$:

$\vec{BA} + \vec{A_1C_1} = \vec{BA} + \vec{AC}$

Применяя правило треугольника для сложения векторов, получаем:

$\vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BC}$

Ответ: $\vec{BC}$