Номер 3, страница 23 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 3, страница 23.

Условие.

3.3. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 3.11). Найдите сумму

$\vec{AB} + \vec{DD_1} + \vec{CD} + \vec{B_1C_1}$

Рис. 3.11

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы найти сумму векторов $\vec{AB} + \vec{DD_1} + \vec{CD} + \vec{B_1C_1}$, воспользуемся свойствами параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В параллелепипеде противоположные грани являются равными и параллельными параллелограммами, а противоположные ребра равны по длине и параллельны.

Это означает, что мы можем заменить некоторые векторы в сумме на равные им векторы для упрощения выражения:

1. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ коллинеарны, сонаправлены и равны по длине, так как $ABCD$ — параллелограмм. Следовательно, $\vec{AB} = \vec{DC}$. Вектор $\vec{CD}$ противоположен вектору $\vec{DC}$, поэтому $\vec{CD} = -\vec{DC} = -\vec{AB}$.

2. Векторы $\vec{DD_1}$ и $\vec{AA_1}$ соответствуют параллельным боковым ребрам, поэтому они равны: $\vec{DD_1} = \vec{AA_1}$.

3. Векторы $\vec{B_1C_1}$ и $\vec{AD}$ также равны, так как они соответствуют параллельным ребрам в равных основаниях и гранях: $\vec{B_1C_1} = \vec{BC} = \vec{AD}$.

Теперь подставим эти эквивалентные векторы в исходное выражение:

$\vec{AB} + \vec{DD_1} + \vec{CD} + \vec{B_1C_1} = \vec{AB} + \vec{AA_1} + (-\vec{AB}) + \vec{AD}$

Сгруппируем слагаемые для упрощения:

$(\vec{AB} - \vec{AB}) + \vec{AA_1} + \vec{AD}$

Сумма противоположных векторов $\vec{AB}$ и $-\vec{AB}$ равна нулевому вектору $\vec{0}$:

$\vec{0} + \vec{AA_1} + \vec{AD} = \vec{AA_1} + \vec{AD}$

Осталось найти сумму векторов $\vec{AA_1}$ и $\vec{AD}$. Эти два вектора выходят из одной вершины $A$ и являются сторонами грани (параллелограмма) $ADD_1A_1$. По правилу параллелограмма для сложения векторов, их сумма равна вектору диагонали этого параллелограмма, выходящей из той же вершины.

$\vec{AA_1} + \vec{AD} = \vec{AD_1}$

Таким образом, искомая сумма векторов равна $\vec{AD_1}$.

Ответ: $\vec{AD_1}$