Номер 2, страница 23 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 2, страница 23.

Условие.

3.2. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите сумму векторов:

1) $\vec{A_1B_1} + \vec{DD_1}$;

2) $\vec{AC} + \vec{C_1D_1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для нахождения суммы векторов $ \vec{A_1B_1} + \vec{DD_1} $ воспользуемся свойствами векторов в кубе. Векторы, соответствующие параллельным и одинаково направленным рёбрам куба, равны.
Заменим вектор $ \vec{DD_1} $ на равный ему вектор $ \vec{BB_1} $, так как рёбра $DD_1$ и $BB_1$ параллельны, равны по длине и сонаправлены.
$ \vec{A_1B_1} + \vec{DD_1} = \vec{A_1B_1} + \vec{BB_1} $
Теперь заменим вектор $ \vec{A_1B_1} $ на равный ему вектор $ \vec{AB} $, так как рёбра $A_1B_1$ и $AB$ также параллельны, равны по длине и сонаправлены.
Сумма примет вид: $ \vec{AB} + \vec{BB_1} $.
По правилу треугольника (правилу Шаля) для сложения векторов, сумма векторов, отложенных последовательно друг от друга (конец первого совпадает с началом второго), есть вектор, идущий из начала первого в конец второго. Таким образом:
$ \vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{AB_1} $.
Ответ: $ \vec{AB_1} $.

2) Для нахождения суммы векторов $ \vec{AC} + \vec{C_1D_1} $ также используем равенство векторов, соответствующих параллельным и сонаправленным отрезкам.
Вектор $ \vec{AC} $ — это диагональ нижнего основания куба $ABCD$.
Вектор $ \vec{C_1D_1} $ лежит в плоскости верхнего основания. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ грани $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ параллельны и одинаково ориентированы. Следовательно, вектор $ \vec{C_1D_1} $ равен вектору $ \vec{BA} $.
Подставим равный вектор в исходное выражение:
$ \vec{AC} + \vec{C_1D_1} = \vec{AC} + \vec{BA} $
Используя свойство коммутативности (переместительности) сложения векторов, поменяем их местами для удобства применения правила треугольника:
$ \vec{BA} + \vec{AC} $
По правилу треугольника (правилу Шаля), так как начало вектора $ \vec{AC} $ совпадает с концом вектора $ \vec{BA} $ (точка A), их сумма равна вектору, соединяющему начало первого вектора (точка B) и конец второго (точка C):
$ \vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BC} $.
Ответ: $ \vec{BC} $.