Номер 7, страница 22 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 3. Сложение и вычитание векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 7, страница 22.

Условие.

7. Какое равенство выражает правило нахождения разности двух векторов, отложенных от одной точки?

Решение 1.

Решение 3.

Правило нахождения разности двух векторов, отложенных от одной точки, можно вывести, используя определение операции вычитания векторов и правило треугольника для их сложения.

Рассмотрим два вектора, $\vec{a}$ и $\vec{b}$, которые отложены от одной общей точки $O$. Пусть конец вектора $\vec{a}$ находится в точке $A$, а конец вектора $\vec{b}$ — в точке $B$. Таким образом, мы имеем векторы $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$.

По определению, разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ является такой вектор $\vec{c}$, который в сумме с вектором $\vec{b}$ дает вектор $\vec{a}$. Это можно записать в виде равенства:
$\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$, что равносильно $\vec{a} = \vec{b} + \vec{c}$.

Подставим в это равенство наши векторы, выраженные через точки:
$\vec{OA} = \vec{OB} + \vec{c}$.

Согласно правилу сложения векторов (правилу треугольника), мы знаем, что сумма векторов $\vec{OB}$ и $\vec{BA}$ равна вектору $\vec{OA}$, так как они образуют последовательную цепь (конец первого вектора является началом второго):
$\vec{OB} + \vec{BA} = \vec{OA}$.

Сравнивая равенство из определения разности ($\vec{OA} = \vec{OB} + \vec{c}$) с равенством, следующим из правила треугольника ($\vec{OA} = \vec{OB} + \vec{BA}$), мы можем заключить, что искомый вектор разности $\vec{c}$ равен вектору $\vec{BA}$.

Таким образом, равенство, которое выражает правило нахождения разности двух векторов, отложенных от одной точки, выглядит так:
$\vec{OA} - \vec{OB} = \vec{BA}$

Словесно это правило можно сформулировать так: чтобы найти разность двух векторов, выходящих из одной точки, нужно соединить их концы вектором, который направлен от конца вычитаемого вектора (B) к концу уменьшаемого вектора (A).

Ответ: $\vec{OA} - \vec{OB} = \vec{BA}$