Номер 4, страница 23 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 4, страница 23.

Условие.

3.4. Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 3.12). Найдите сумму $\vec{A_1A} + \vec{C_1D_1} + \vec{DB_1} + \vec{BC}$.

Рис. 3.10

Рис. 3.11

Рис. 3.12

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения суммы векторов $\vec{A_1A} + \vec{C_1D_1} + \vec{DB_1} + \vec{BC}$ воспользуемся свойствами параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В параллелепипеде противоположные грани являются равными и параллельными параллелограммами. Это означает, что векторы, соответствующие параллельным и одинаково направленным рёбрам, равны.

1. Вектор $\vec{C_1D_1}$ равен вектору $\vec{B_1A_1}$, так как грань $A_1B_1C_1D_1$ — параллелограмм.

2. Вектор $\vec{BC}$ равен вектору $\vec{AD}$, так как грань $ABCD$ — параллелограмм.

Подставим эти равные векторы в исходное выражение, чтобы упростить его:

$\vec{A_1A} + \vec{C_1D_1} + \vec{DB_1} + \vec{BC} = \vec{A_1A} + \vec{B_1A_1} + \vec{DB_1} + \vec{AD}$

Теперь перегруппируем слагаемые таким образом, чтобы можно было последовательно применить правило сложения векторов (правило многоугольника), где начало следующего вектора совпадает с концом предыдущего:

$(\vec{DB_1} + \vec{B_1A_1}) + \vec{A_1A} + \vec{AD}$

По правилу треугольника, сумма векторов $\vec{DB_1}$ и $\vec{B_1A_1}$ равна вектору $\vec{DA_1}$ (вектор, соединяющий начало первого вектора с концом второго):

$\vec{DB_1} + \vec{B_1A_1} = \vec{DA_1}$

Подставим полученный результат в наше выражение:

$\vec{DA_1} + \vec{A_1A} + \vec{AD}$

Снова применяем правило сложения для первых двух векторов:

$\vec{DA_1} + \vec{A_1A} = \vec{DA}$

Таким образом, всё выражение сводится к сумме двух векторов:

$\vec{DA} + \vec{AD}$

Векторы $\vec{DA}$ и $\vec{AD}$ являются противоположными, так как они имеют одинаковую длину, лежат на одной прямой, но направлены в противоположные стороны. Их сумма равна нулевому вектору:

$\vec{DA} + \vec{AD} = \vec{0}$

Ответ: $\vec{0}$.