Номер 9, страница 23 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы. Параграф 3. Сложение и вычитание векторов. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 9, страница 23.

Условие.

9. Какие векторы называют противоположными?

Решение 1.

Решение 3.

Противоположными называют два ненулевых вектора, которые имеют одинаковые длины (модули) и направлены в противоположные стороны.

Рассмотрим два вектора, $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Они будут противоположными, если выполняются два условия:

1. Равенство длин (модулей): Длины векторов должны быть одинаковы. Математически это записывается как $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.
2. Противоположное направление: Векторы должны быть коллинеарными (лежать на одной прямой или на параллельных прямых), но направлены в разные стороны. Это обозначается как $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$.

Обозначение и свойства:

• Вектор, противоположный вектору $\vec{a}$, обозначается как $-\vec{a}$. Таким образом, если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположны, то можно записать, что $\vec{b} = -\vec{a}$.
• Сумма двух противоположных векторов всегда равна нулевому вектору: $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$.
• В координатах, если вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(x, y)$, то противоположный ему вектор $-\vec{a}$ будет иметь координаты $(-x, -y)$.
• Если вектор задан начальной точкой $A$ и конечной точкой $B$, то это вектор $\vec{AB}$. Противоположным ему будет вектор $\vec{BA}$, у которого начало и конец поменялись местами. Таким образом, $\vec{AB} = -\vec{BA}$.

Пример:
Если дан вектор $\vec{c} = (2; -4)$, то противоположный ему вектор $-\vec{c}$ будет иметь координаты $(-2; 4)$. Длина обоих векторов одинакова и равна $|\vec{c}| = |-\vec{c}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20}$.

Ответ: Противоположные векторы — это два ненулевых вектора, которые имеют равные длины и противоположные направления.