Номер 28, страница 18 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 2. Векторы в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 28, страница 18.

Условие.

2.28. Основанием прямой призмы является ромб. Диагонали призмы равны 16 см и $2\sqrt{19}$ см, а её высота – 2 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) вычисляется по формуле:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $h$ — высота призмы.

В основании призмы лежит ромб. Периметр ромба равен $P_{осн} = 4a$, где $a$ — сторона ромба. Из условия задачи известно, что высота призмы $h = 2$ см.

Чтобы найти площадь боковой поверхности, нам необходимо сначала найти сторону ромба $a$. Мы можем найти ее, зная диагонали ромба $d_1$ и $d_2$.

Диагонали призмы ($D_1 = 16$ см и $D_2 = 2\sqrt{19}$ см), диагонали ромба в основании ($d_1$ и $d_2$) и высота призмы ($h$) связаны между собой через теорему Пифагора. Каждая диагональ призмы является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются соответствующая диагональ основания и высота призмы.

$D_1^2 = d_1^2 + h^2$

$D_2^2 = d_2^2 + h^2$

Найдем квадраты диагоналей основания, подставив известные значения:

$d_1^2 = D_1^2 - h^2 = 16^2 - 2^2 = 256 - 4 = 252$

$d_2^2 = D_2^2 - h^2 = (2\sqrt{19})^2 - 2^2 = 4 \cdot 19 - 4 = 76 - 4 = 72$

Теперь найдем сторону ромба $a$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Сторона ромба является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катеты которого — половины диагоналей. Связь между стороной и диагоналями ромба выражается формулой:

$a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = \frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4}$

Подставим найденные значения $d_1^2$ и $d_2^2$:

$a^2 = \frac{252}{4} + \frac{72}{4} = 63 + 18 = 81$

Отсюда находим длину стороны ромба:

$a = \sqrt{81} = 9$ см.

Теперь можем найти периметр основания (ромба):

$P_{осн} = 4a = 4 \cdot 9 = 36$ см.

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности призмы:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 36 \cdot 2 = 72$ см$^2$.

Ответ: $72 \text{ см}^2$.