Номер 25, страница 18 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 2. Векторы в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 25, страница 18.

Условие.

2.25. Существует ли параллельный перенос, при котором образом точки $M(-4; 7; -2)$ является точка $M_1(-8; 1; -7)$, а образом точки $N(-1; 4; -2)$ – точка $N_1(-5; -2; -7)$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Параллельный перенос — это преобразование, при котором все точки пространства переносятся в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Это означает, что параллельный перенос задается одним и тем же вектором для всех точек.

Пусть существует параллельный перенос, заданный вектором $\vec{v} = (a; b; c)$, который переводит точку $M(x_M; y_M; z_M)$ в точку $M_1(x_{M_1}; y_{M_1}; z_{M_1})$ и точку $N(x_N; y_N; z_N)$ в точку $N_1(x_{N_1}; y_{N_1}; z_{N_1})$.

Тогда вектор переноса $\vec{v}$ должен быть равен вектору $\vec{MM_1}$ и одновременно вектору $\vec{NN_1}$. Для существования такого переноса необходимо и достаточно, чтобы векторы $\vec{MM_1}$ и $\vec{NN_1}$ были равны.

1. Найдем координаты вектора $\vec{MM_1}$
Координаты начала: $M(-4; 7; -2)$.
Координаты конца: $M_1(-8; 1; -7)$.
Координаты вектора $\vec{MM_1}$ вычисляются как разность соответствующих координат его конца и начала:
$\vec{MM_1} = (x_{M_1} - x_M; y_{M_1} - y_M; z_{M_1} - z_M) = (-8 - (-4); 1 - 7; -7 - (-2)) = (-4; -6; -5)$.

2. Найдем координаты вектора $\vec{NN_1}$
Координаты начала: $N(-1; 4; -2)$.
Координаты конца: $N_1(-5; -2; -7)$.
Координаты вектора $\vec{NN_1}$:
$\vec{NN_1} = (x_{N_1} - x_N; y_{N_1} - y_N; z_{N_1} - z_N) = (-5 - (-1); -2 - 4; -7 - (-2)) = (-4; -6; -5)$.

3. Сравним полученные векторы
Мы получили, что $\vec{MM_1} = (-4; -6; -5)$ и $\vec{NN_1} = (-4; -6; -5)$.
Поскольку $\vec{MM_1} = \vec{NN_1}$, то такой параллельный перенос существует. Он задается вектором переноса $\vec{v} = (-4; -6; -5)$.

Ответ: да, такой параллельный перенос существует.