Номер 23, страница 18 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 2. Векторы в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 23, страница 18.

Условие.

2.23. Модуль вектора $\vec{c}(x; y; z)$ равен 9, его координаты $x$ и $z$ равны, а координаты $x$ и $y$ — противоположные числа. Найдите координаты вектора $\vec{c}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дан вектор $\vec{c}$ с координатами $(x; y; z)$.

По условию задачи, модуль этого вектора равен 9, то есть $|\vec{c}| = 9$.

Также известно, что его координаты $x$ и $z$ равны, а координаты $x$ и $y$ — противоположные числа. Это можно записать в виде системы равенств:

$z = x$

$y = -x$

Модуль вектора в трехмерном пространстве вычисляется по формуле:

$|\vec{c}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

Подставим в эту формулу известные нам значения и соотношения:

$9 = \sqrt{x^2 + (-x)^2 + x^2}$

Упростим выражение под корнем:

$9 = \sqrt{x^2 + x^2 + x^2}$

$9 = \sqrt{3x^2}$

Для решения этого уравнения возведем обе части в квадрат:

$9^2 = (\sqrt{3x^2})^2$

$81 = 3x^2$

Теперь найдем $x^2$:

$x^2 = \frac{81}{3}$

$x^2 = 27$

Отсюда находим возможные значения для $x$:

$x = \pm\sqrt{27} = \pm\sqrt{9 \cdot 3} = \pm3\sqrt{3}$

Теперь рассмотрим два возможных случая для нахождения координат вектора.

1. Если $x = 3\sqrt{3}$, то:

$y = -x = -3\sqrt{3}$

$z = x = 3\sqrt{3}$

Таким образом, один из возможных векторов имеет координаты $(3\sqrt{3}; -3\sqrt{3}; 3\sqrt{3})$.

2. Если $x = -3\sqrt{3}$, то:

$y = -x = -(-3\sqrt{3}) = 3\sqrt{3}$

$z = x = -3\sqrt{3}$

Второй возможный вектор имеет координаты $(-3\sqrt{3}; 3\sqrt{3}; -3\sqrt{3})$.

Ответ: $(3\sqrt{3}; -3\sqrt{3}; 3\sqrt{3})$ или $(-3\sqrt{3}; 3\sqrt{3}; -3\sqrt{3})$.