Номер 27, страница 18 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 2. Векторы в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 27, страница 18.

Условие.

2.27. По одну сторону от центра окружности проведены две параллельные хорды длиной 30 см и 48 см. Найдите расстояние между хордами, если радиус окружности равен 25 см.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть O — центр окружности, а R — её радиус. По условию задачи, радиус $R = 25$ см. В окружности проведены две параллельные хорды, назовем их AB и CD, с длинами $AB = 48$ см и $CD = 30$ см. Обе хорды расположены по одну сторону от центра O.

Чтобы найти расстояние между хордами, сначала определим расстояние от центра окружности до каждой из них. Расстояние от центра до хорды — это длина перпендикуляра, опущенного из центра на эту хорду.

Проведём из центра O перпендикуляр OK к хордам. Так как хорды AB и CD параллельны, этот перпендикуляр пересечет их обе. Пусть точка M — точка пересечения с хордой AB, а точка N — с хордой CD. Длины отрезков OM и ON являются расстояниями от центра до хорд AB и CD соответственно.

Перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит эту хорду пополам. Следовательно, точка M делит хорду AB пополам, а точка N — хорду CD пополам:
$AM = \frac{AB}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.
$CN = \frac{CD}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OMA$ и $\triangle ONC$, образованные радиусами OA и OC, половинами хорд AM и CN, и перпендикулярами OM и ON.

В треугольнике $\triangle OMA$: гипотенуза $OA$ равна радиусу, то есть $OA = R = 25$ см. Катет $AM = 24$ см. По теореме Пифагора найдём катет OM:
$OM^2 = OA^2 - AM^2 = 25^2 - 24^2$
$OM^2 = 625 - 576 = 49$
$OM = \sqrt{49} = 7$ см.

В треугольнике $\triangle ONC$: гипотенуза $OC$ также равна радиусу, $OC = R = 25$ см. Катет $CN = 15$ см. По теореме Пифагора найдём катет ON:
$ON^2 = OC^2 - CN^2 = 25^2 - 15^2$
$ON^2 = 625 - 225 = 400$
$ON = \sqrt{400} = 20$ см.

Так как хорды находятся по одну сторону от центра, искомое расстояние между ними равно разности расстояний от центра до каждой из хорд. Более длинная хорда (AB) находится ближе к центру ($OM=7$ см), а более короткая (CD) — дальше ($ON=20$ см). Расстояние между ними — это длина отрезка MN.
$MN = ON - OM = 20 \text{ см} - 7 \text{ см} = 13$ см.

Ответ: 13 см.