Номер 26, страница 18 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Параграф 2. Векторы в пространстве. Глава 1. Координаты и векторы в пространстве - номер 26, страница 18.

Условие.

2.26. Основания равнобокой трапеции равны 15 см и 39 см, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AD и BC — основания, AB и CD — боковые стороны. По условию, большее основание $a = AD = 39$ см, меньшее основание $b = BC = 15$ см. Трапеция равнобокая, следовательно, её боковые стороны равны: AB = CD. Диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD, что означает, что треугольник ACD является прямоугольным с прямым углом при вершине C ($ \angle ACD = 90^\circ $).

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $ S = \frac{a+b}{2} \cdot h $, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота трапеции.

Для нахождения высоты $h$ проведем из вершины C высоту CH на основание AD. В равнобокой трапеции высота, опущенная из вершины меньшего основания на большее, делит большее основание на два отрезка. Длина отрезка HD, прилегающего к боковой стороне CD, равна полуразности оснований:

$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{39 - 15}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Длина второго отрезка, AH, равна:

$AH = AD - HD = 39 - 12 = 27$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. Высота CH, проведенная из вершины прямого угла C к гипотенузе AD, делит гипотенузу на отрезки AH и HD, которые являются проекциями катетов AC и CD на гипотенузу. Согласно метрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике, квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению длин проекций катетов на гипотенузу:

$CH^2 = AH \cdot HD$

Подставим известные значения:

$h^2 = 27 \cdot 12 = 324$

$h = \sqrt{324} = 18$ см.

Теперь у нас есть все необходимые данные для вычисления площади трапеции:

$S = \frac{39 + 15}{2} \cdot 18 = \frac{54}{2} \cdot 18 = 27 \cdot 18 = 486$ см².

Ответ: 486 см².